Математический анализ Примеры

$y = \frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = e^{x} + e^{- x}$ и $g (x) = e^{x} - e^{- x}$ .

$\frac{(e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}] - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Этап 2

По правилу суммы производная $e^{x} + e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{(e^{x} - e^{- x}) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]) - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]) - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- x$ .

$\frac{(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- x$ .

$\frac{(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)) - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} \cdot - 1) - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Этап 5.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$\frac{(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - 1 \cdot e^{- x}) - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Этап 5.3.3

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$\frac{(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x}) - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Этап 6

Возведем $e^{x} - e^{- x}$ в степень $1$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{1} (e^{x} - e^{- x}) - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Этап 7

Возведем $e^{x} - e^{- x}$ в степень $1$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{1} {(e^{x} - e^{- x})}^{1} - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Этап 8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{1 + 1} - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Этап 9

Продифференцируем, используя правило суммы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Этап 9.2

По правилу суммы производная $e^{x} - e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}])}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Этап 10

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}])}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Этап 11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{- x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}])}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Этап 12

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- x$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]))}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Этап 12.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]))}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Этап 12.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- x$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Этап 13

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Этап 13.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + 1 e^{- x} \frac{d}{d x} [x])}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Этап 13.2.2

Умножим $e^{- x}$ на $1$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Этап 13.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} \cdot 1)}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Этап 13.4

Умножим $e^{- x}$ на $1$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x})}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Этап 14

Возведем $e^{x} + e^{- x}$ в степень $1$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - ({(e^{x} + e^{- x})}^{1} (e^{x} + e^{- x}))}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Этап 15

Возведем $e^{x} + e^{- x}$ в степень $1$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - ({(e^{x} + e^{- x})}^{1} {(e^{x} + e^{- x})}^{1})}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Этап 16

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - {(e^{x} + e^{- x})}^{1 + 1}}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Этап 17

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{(e^{x} - e^{- x})}^{2} - {(e^{x} + e^{- x})}^{2}}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Этап 18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = e^{x} - e^{- x}$ и $b = e^{x} + e^{- x}$ .

$\frac{(e^{x} - e^{- x} + e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - e^{- x} - (e^{x} + e^{- x}))}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Этап 18.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.2.1

Добавим $e^{x}$ и $e^{x}$ .

$\frac{(2 e^{x} - e^{- x} + e^{- x}) (e^{x} - e^{- x} - (e^{x} + e^{- x}))}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Этап 18.1.2.2

Добавим $- e^{- x}$ и $e^{- x}$ .

$\frac{(2 e^{x} + 0) (e^{x} - e^{- x} - (e^{x} + e^{- x}))}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Этап 18.1.2.3

Добавим $2 e^{x}$ и $0$ .

$\frac{2 e^{x} (e^{x} - e^{- x} - (e^{x} + e^{- x}))}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Этап 18.1.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 e^{x} (e^{x} - e^{- x} - e^{x} - e^{- x})}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Этап 18.1.2.5

Вычтем $e^{x}$ из $e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x} (0 - e^{- x} - e^{- x})}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Этап 18.1.2.6

Вычтем $e^{- x}$ из $0$ .

$\frac{2 e^{x} (- e^{- x} - e^{- x})}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Этап 18.1.2.7

Вычтем $e^{- x}$ из $- e^{- x}$ .

$\frac{2 e^{x} \cdot - 2 e^{- x}}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Этап 18.1.2.8

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.2.8.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{- 4 e^{x} e^{- x}}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Этап 18.1.2.8.2

Умножим $e^{x}$ на $e^{- x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.2.8.2.1

Перенесем $e^{- x}$ .

$\frac{- 4 (e^{- x} e^{x})}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Этап 18.1.2.8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 4 e^{- x + x}}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Этап 18.1.2.8.2.3

Добавим $- x$ и $x$ .

$\frac{- 4 e^{0}}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Этап 18.1.2.8.3

Упростим $- 4 e^{0}$ .

$\frac{- 4}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$

Этап 18.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{{(e^{x} - e^{- x})}^{2}}$