Математический анализ Примеры

$y = \frac{\log_{6} (x)}{3 + x^{6}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \log_{6} (x)$ и $g (x) = 3 + x^{6}$ .

$\frac{(3 + x^{6}) \frac{d}{d x} [\log_{6} (x)] - \log_{6} (x) \frac{d}{d x} [3 + x^{6}]}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Этап 2

Производная $\log_{6} (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x \ln (6)}$ .

$\frac{(3 + x^{6}) \frac{1}{x \ln (6)} - \log_{6} (x) \frac{d}{d x} [3 + x^{6}]}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $3 + x^{6}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{(3 + x^{6}) \frac{1}{x \ln (6)} - \log_{6} (x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{6}])}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Этап 3.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(3 + x^{6}) \frac{1}{x \ln (6)} - \log_{6} (x) (0 + \frac{d}{d x} [x^{6}])}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Этап 3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{(3 + x^{6}) \frac{1}{x \ln (6)} - \log_{6} (x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$\frac{(3 + x^{6}) \frac{1}{x \ln (6)} - \log_{6} (x) (6 x^{5})}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Этап 3.5

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{(3 + x^{6}) \frac{1}{x \ln (6)} - 6 \log_{6} (x) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 \frac{1}{x \ln (6)} + x^{6} \frac{1}{x \ln (6)} - 6 \log_{6} (x) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Этап 4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{x \ln (6)}$ .

$\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + x^{6} \frac{1}{x \ln (6)} - 6 \log_{6} (x) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Этап 4.2.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{6}$ .

$\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + x \cdot x^{5} \frac{1}{x \ln (6)} - 6 \log_{6} (x) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Этап 4.2.1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (6)$ .

$\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + x \cdot x^{5} \frac{1}{x (\ln (6))} - 6 \log_{6} (x) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Этап 4.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + x \cdot x^{5} \frac{1}{x \ln (6)} - 6 \log_{6} (x) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Этап 4.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + x^{5} \frac{1}{\ln (6)} - 6 \log_{6} (x) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Этап 4.2.1.3

Объединим $x^{5}$ и $\frac{1}{\ln (6)}$ .

$\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + \frac{x^{5}}{\ln (6)} - 6 \log_{6} (x) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Этап 4.2.1.4

Упростим $- 6 \log_{6} (x)$ путем переноса $6$ под логарифм.

$\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + \frac{x^{5}}{\ln (6)} - \log_{6} (x^{6}) x^{5}}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Этап 4.2.2

Изменим порядок множителей в $\frac{3}{x \ln (6)} + \frac{x^{5}}{\ln (6)} - \log_{6} (x^{6}) x^{5}$ .

$\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + \frac{x^{5}}{\ln (6)} - x^{5} \log_{6} (x^{6})}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Этап 4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $\frac{\frac{3}{x \ln (6)} + \frac{x^{5}}{\ln (6)} - x^{5} \log_{6} (x^{6})}{{(3 + x^{6})}^{2}}$ на $\frac{x \ln (6)}{x \ln (6)}$ .

$\frac{x \ln (6)}{x \ln (6)} \cdot \frac{\frac{3}{x \ln (6)} + \frac{x^{5}}{\ln (6)} - x^{5} \log_{6} (x^{6})}{{(3 + x^{6})}^{2}}$

Этап 4.3.2

Объединим.

$\frac{x \ln (6) (\frac{3}{x \ln (6)} + \frac{x^{5}}{\ln (6)} - x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

Этап 4.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \ln (6) \frac{3}{x \ln (6)} + x \ln (6) \frac{x^{5}}{\ln (6)} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $x \ln (6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (6) \frac{3}{x \ln (6)} + x \ln (6) \frac{x^{5}}{\ln (6)} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

Этап 4.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 + x \ln (6) \frac{x^{5}}{\ln (6)} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

Этап 4.3.5

Сократим общий множитель $\ln (6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Вынесем множитель $\ln (6)$ из $x \ln (6)$ .

$\frac{3 + \ln (6) x \frac{x^{5}}{\ln (6)} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

Этап 4.3.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 + \ln (6) x \frac{x^{5}}{\ln (6)} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

Этап 4.3.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 + x \cdot x^{5} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

Этап 4.3.6

Умножим $x$ на $x^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Умножим $x$ на $x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{3 + x^{1} x^{5} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

Этап 4.3.6.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 + x^{1 + 5} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

Этап 4.3.6.2

Добавим $1$ и $5$ .

$\frac{3 + x^{6} + x \ln (6) (- x^{5} \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

Этап 4.3.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{3 + x^{6} + x^{5} x^{1} \ln (6) (- \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

Этап 4.3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 + x^{6} + x^{5 + 1} \ln (6) (- \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

Этап 4.3.9

Добавим $5$ и $1$ .

$\frac{3 + x^{6} + x^{6} \ln (6) (- \log_{6} (x^{6}))}{x \ln (6) {(3 + x^{6})}^{2}}$

Этап 4.4

Изменим порядок членов.

$\frac{x^{6} - x^{6} \ln (6) \log_{6} (x^{6}) + 3}{x {(3 + x^{6})}^{2} \ln (6)}$