Математический анализ Примеры

$y = \frac{300 x + 300}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 300 x + 300$ и $g (x) = {(2 x + 3)}^{2}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [300 x + 300] - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{({(2 x + 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 x + 3)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [300 x + 300] - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [300 x + 300] - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $300 x + 300$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [300 x] + \frac{d}{d x} [300]$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [300 x] + \frac{d}{d x} [300]) - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 2.3

Поскольку $300$ является константой относительно $x$ , производная $300 x$ по $x$ равна $300 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (300 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [300]) - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (300 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [300]) - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 2.5

Умножим $300$ на $1$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (300 + \frac{d}{d x} [300]) - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 2.6

Поскольку $300$ является константой относительно $x$ , производная $300$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (300 + 0) - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 2.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Добавим $300$ и $0$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} \cdot 300 - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 2.7.2

Перенесем $300$ влево от ${(2 x + 3)}^{2}$ .

$\frac{300 \cdot {(2 x + 3)}^{2} - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 2 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x + 3$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - (300 x + 300) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - (300 x + 300) (2 u \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + 3$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - (300 x + 300) (2 (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 4.2

По правилу суммы производная $2 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 4.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 4.5

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) (2 + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 4.6

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) (2 + 0))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 4.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) \cdot 2)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 4.7.2

Перенесем $2$ влево от $2 x + 3$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) (2 \cdot (2 x + 3))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 4.7.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 4 (300 x + 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Перепишем ${(2 x + 3)}^{2}$ в виде $(2 x + 3) (2 x + 3)$ .

$\frac{300 ((2 x + 3) (2 x + 3)) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.2.1.2

Развернем $(2 x + 3) (2 x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{300 (2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3)) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{300 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x + 3)) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{300 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{300 (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.2.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{300 (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.2.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{300 (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.2.1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{300 (4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.2.1.3.1.4

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{300 (4 x^{2} + 6 x + 3 (2 x) + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.2.1.3.1.5

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{300 (4 x^{2} + 6 x + 6 x + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.2.1.3.1.6

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{300 (4 x^{2} + 6 x + 6 x + 9) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.2.1.3.2

Добавим $6 x$ и $6 x$ .

$\frac{300 (4 x^{2} + 12 x + 9) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{300 (4 x^{2}) + 300 (12 x) + 300 \cdot 9 + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.2.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.5.1

Умножим $4$ на $300$ .

$\frac{1200 x^{2} + 300 (12 x) + 300 \cdot 9 + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.2.1.5.2

Умножим $12$ на $300$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 300 \cdot 9 + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.2.1.5.3

Умножим $300$ на $9$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.2.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.6.1

Умножим $300$ на $- 4$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 + (- 1200 x - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.2.1.6.2

Умножим $- 4$ на $300$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 + (- 1200 x - 1200) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.2.1.7

Развернем $(- 1200 x - 1200) (2 x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 1200 x (2 x + 3) - 1200 (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.2.1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 1200 x (2 x) - 1200 x \cdot 3 - 1200 (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.2.1.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 1200 x (2 x) - 1200 x \cdot 3 - 1200 (2 x) - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.2.1.8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.8.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 1200 \cdot 2 x \cdot x - 1200 x \cdot 3 - 1200 (2 x) - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.2.1.8.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.8.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 1200 \cdot 2 (x \cdot x) - 1200 x \cdot 3 - 1200 (2 x) - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.2.1.8.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 1200 \cdot 2 x^{2} - 1200 x \cdot 3 - 1200 (2 x) - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.2.1.8.1.3

Умножим $- 1200$ на $2$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 2400 x^{2} - 1200 x \cdot 3 - 1200 (2 x) - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.2.1.8.1.4

Умножим $3$ на $- 1200$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 2400 x^{2} - 3600 x - 1200 (2 x) - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.2.1.8.1.5

Умножим $2$ на $- 1200$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 2400 x^{2} - 3600 x - 2400 x - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.2.1.8.1.6

Умножим $- 1200$ на $3$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 2400 x^{2} - 3600 x - 2400 x - 3600}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.2.1.8.2

Вычтем $2400 x$ из $- 3600 x$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 2400 x^{2} - 6000 x - 3600}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.2.2

Вычтем $2400 x^{2}$ из $1200 x^{2}$ .

$\frac{- 1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 6000 x - 3600}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.2.3

Вычтем $6000 x$ из $3600 x$ .

$\frac{- 1200 x^{2} - 2400 x + 2700 - 3600}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.2.4

Вычтем $3600$ из $2700$ .

$\frac{- 1200 x^{2} - 2400 x - 900}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $300$ из $- 1200 x^{2} - 2400 x - 900$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Вынесем множитель $300$ из $- 1200 x^{2}$ .

$\frac{300 (- 4 x^{2}) - 2400 x - 900}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.3.1.2

Вынесем множитель $300$ из $- 2400 x$ .

$\frac{300 (- 4 x^{2}) + 300 (- 8 x) - 900}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.3.1.3

Вынесем множитель $300$ из $- 900$ .

$\frac{300 (- 4 x^{2}) + 300 (- 8 x) + 300 (- 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.3.1.4

Вынесем множитель $300$ из $300 (- 4 x^{2}) + 300 (- 8 x)$ .

$\frac{300 (- 4 x^{2} - 8 x) + 300 (- 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.3.1.5

Вынесем множитель $300$ из $300 (- 4 x^{2} - 8 x) + 300 (- 3)$ .

$\frac{300 (- 4 x^{2} - 8 x - 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.3.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 4 \cdot - 3 = 12$ , а сумма — $b = - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Вынесем множитель $- 8$ из $- 8 x$ .

$\frac{300 (- 4 x^{2} - 8 (x) - 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.3.2.1.2

Запишем $- 8$ как $- 2$ плюс $- 6$

$\frac{300 (- 4 x^{2} + (- 2 - 6) x - 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.3.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{300 (- 4 x^{2} - 2 x - 6 x - 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{300 ((- 4 x^{2} - 2 x) - 6 x - 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.3.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{300 (2 x (- 2 x - 1) + 3 (- 2 x - 1))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.3.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 2 x - 1$ .

$\frac{300 ((- 2 x - 1) (2 x + 3))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

$\frac{300 (- 2 x - 1) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.4

Сократим общий множитель $2 x + 3$ и ${(2 x + 3)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $2 x + 3$ из $300 (- 2 x - 1) (2 x + 3)$ .

$\frac{(2 x + 3) (300 (- 2 x - 1))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Этап 5.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Вынесем множитель $2 x + 3$ из ${(2 x + 3)}^{4}$ .

$\frac{(2 x + 3) (300 (- 2 x - 1))}{(2 x + 3) {(2 x + 3)}^{3}}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 x + 3) (300 (- 2 x - 1))}{(2 x + 3) {(2 x + 3)}^{3}}$

Этап 5.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{300 (- 2 x - 1)}{{(2 x + 3)}^{3}}$

Этап 5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$\frac{300 (- (2 x) - 1)}{{(2 x + 3)}^{3}}$

Этап 5.6

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{300 (- (2 x) - 1 (1))}{{(2 x + 3)}^{3}}$

Этап 5.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - 1 (1)$ .

$\frac{300 (- (2 x + 1))}{{(2 x + 3)}^{3}}$

Этап 5.8

Перепишем $- (2 x + 1)$ в виде $- 1 (2 x + 1)$ .

$\frac{300 (- 1 (2 x + 1))}{{(2 x + 3)}^{3}}$

Этап 5.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{300 (2 x + 1)}{{(2 x + 3)}^{3}}$