Математический анализ Примеры

$y = {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{3}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = 2 + {(x^{2} + 1)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 + {(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [2 + {(x^{2} + 1)}^{4}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [2 + {(x^{2} + 1)}^{4}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 + {(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$3 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} \frac{d}{d x} [2 + {(x^{2} + 1)}^{4}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 + {(x^{2} + 1)}^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{4}]$ .

$3 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{4}])$

Этап 2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{4}])$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{4}]$ .

$3 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{4}]$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{2} + 1$ .

$3 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$3 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2} + 1$ .

$3 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} (4 {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $4$ на $3$ .

$12 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} ({(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 4.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$12 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} ({(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} ({(x^{2} + 1)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [1]))$

Этап 4.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$12 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} ({(x^{2} + 1)}^{3} (2 x + 0))$

Этап 4.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$12 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} ({(x^{2} + 1)}^{3} (2 x))$

Этап 4.5.2

Перенесем $2$ влево от ${(x^{2} + 1)}^{3}$ .

$12 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} (2 \cdot {(x^{2} + 1)}^{3} x)$

Этап 4.5.3

Умножим $2$ на $12$ .

$24 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} ({(x^{2} + 1)}^{3} x)$

Этап 4.5.4

Изменим порядок множителей в $24 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} ({(x^{2} + 1)}^{3} x)$ .

$24 x {(x^{2} + 1)}^{3} {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2}$