Математический анализ Примеры

$y = {(2 x^{2} + x)}^{200}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{200}$ и $g (x) = 2 x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x^{2} + x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{200}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} + x]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 200$ .

$200 u^{199} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + x]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x^{2} + x$ .

$200 {(2 x^{2} + x)}^{199} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + x]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 x^{2} + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$200 {(2 x^{2} + x)}^{199} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$200 {(2 x^{2} + x)}^{199} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$200 {(2 x^{2} + x)}^{199} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4

Умножим $2$ на $2$ .

$200 {(2 x^{2} + x)}^{199} (4 x + \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$200 {(2 x^{2} + x)}^{199} (4 x + 1)$