Математический анализ Примеры

$y = {(1 - \frac{x}{7})}^{- 7}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 7}$ и $g (x) = 1 - \frac{x}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 - \frac{x}{7}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 7}] \frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{7}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 7$ .

$- 7 u^{- 8} \frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{7}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 - \frac{x}{7}$ .

$- 7 {(1 - \frac{x}{7})}^{- 8} \frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{7}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $1 - \frac{x}{7}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{7}]$ .

$- 7 {(1 - \frac{x}{7})}^{- 8} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{7}])$

Этап 2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 7 {(1 - \frac{x}{7})}^{- 8} (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{7}])$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{7}]$ .

$- 7 {(1 - \frac{x}{7})}^{- 8} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{7}]$

Этап 2.4

Поскольку $- \frac{1}{7}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x}{7}$ по $x$ равна $- \frac{1}{7} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 7 {(1 - \frac{x}{7})}^{- 8} (- \frac{1}{7} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$7 {(1 - \frac{x}{7})}^{- 8} (\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.5.2

Объединим $\frac{1}{7}$ и $7$ .

$\frac{7}{7} {(1 - \frac{x}{7})}^{- 8} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.5.3

Объединим $\frac{7}{7}$ и ${(1 - \frac{x}{7})}^{- 8}$ .

$\frac{7 {(1 - \frac{x}{7})}^{- 8}}{7} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.5.4

Перенесем ${(1 - \frac{x}{7})}^{- 8}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{7}{7 {(1 - \frac{x}{7})}^{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.5.5

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7}{7 {(1 - \frac{x}{7})}^{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.5.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{{(1 - \frac{x}{7})}^{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{{(1 - \frac{x}{7})}^{8}} \cdot 1$

Этап 2.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $\frac{1}{{(1 - \frac{x}{7})}^{8}}$ на $1$ .

$\frac{1}{{(1 - \frac{x}{7})}^{8}}$

Этап 2.7.2

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{{(- \frac{x}{7} + 1)}^{8}}$