Математический анализ Примеры

$y = {(\frac{x}{2} - 1)}^{- 10}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 10}$ и $g (x) = \frac{x}{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 10}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 1]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 10$ .

$- 10 u^{- 11} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 1]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{2} - 1$ .

$- 10 {(\frac{x}{2} - 1)}^{- 11} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 1]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\frac{x}{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 10 {(\frac{x}{2} - 1)}^{- 11} (\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 {(\frac{x}{2} - 1)}^{- 11} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 10 {(\frac{x}{2} - 1)}^{- 11} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$- 10 {(\frac{x}{2} - 1)}^{- 11} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 10 {(\frac{x}{2} - 1)}^{- 11} (\frac{1}{2} + 0)$

Этап 2.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$- 10 {(\frac{x}{2} - 1)}^{- 11} \frac{1}{2}$

Этап 2.6.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 10$ .

$\frac{- 10}{2} {(\frac{x}{2} - 1)}^{- 11}$

Этап 2.6.3

Объединим $\frac{- 10}{2}$ и ${(\frac{x}{2} - 1)}^{- 11}$ .

$\frac{- 10 {(\frac{x}{2} - 1)}^{- 11}}{2}$

Этап 2.6.4

Перенесем ${(\frac{x}{2} - 1)}^{- 11}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 10}{2 {(\frac{x}{2} - 1)}^{11}}$

Этап 2.6.5

Сократим общий множитель $- 10$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 10$ .

$\frac{2 \cdot - 5}{2 {(\frac{x}{2} - 1)}^{11}}$

Этап 2.6.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(\frac{x}{2} - 1)}^{11}$ .

$\frac{2 \cdot - 5}{2 ({(\frac{x}{2} - 1)}^{11})}$

Этап 2.6.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 5}{2 {(\frac{x}{2} - 1)}^{11}}$

Этап 2.6.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 5}{{(\frac{x}{2} - 1)}^{11}}$

Этап 2.6.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{{(\frac{x}{2} - 1)}^{11}}$