Математический анализ Примеры

$y = {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{3}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = \frac{6 x^{2}}{2 - x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{6 x^{2}}{2 - x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{6 x^{2}}{2 - x}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{6 x^{2}}{2 - x}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{6 x^{2}}{2 - x}$ .

$3 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{6 x^{2}}{2 - x}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{6 x^{2}}{2 - x}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2 - x}]$ .

$3 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} (6 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2 - x}])$

Этап 2.2

Умножим $6$ на $3$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2 - x}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 2 - x$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{(2 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [2 - x]}{{(2 - x)}^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{(2 - x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [2 - x]}{{(2 - x)}^{2}}$

Этап 4.2

Перенесем $2$ влево от $2 - x$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 \cdot (2 - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [2 - x]}{{(2 - x)}^{2}}$

Этап 4.3

По правилу суммы производная $2 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(2 - x)}^{2}}$

Этап 4.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(2 - x)}^{2}}$

Этап 4.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [- x]}{{(2 - x)}^{2}}$

Этап 4.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x - x^{2} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(2 - x)}^{2}}$

Этап 4.7

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x + 1 x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(2 - x)}^{2}}$

Этап 4.7.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x + x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(2 - x)}^{2}}$

Этап 4.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x + x^{2} \cdot 1}{{(2 - x)}^{2}}$

Этап 4.9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x + x^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Этап 4.9.2

Объединим $\frac{2 (2 - x) x + x^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$ и $18$ .

$\frac{(2 (2 - x) x + x^{2}) \cdot 18}{{(2 - x)}^{2}} {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2}$

Этап 4.9.3

Перенесем $18$ влево от $2 (2 - x) x + x^{2}$ .

$\frac{18 \cdot (2 (2 - x) x + x^{2})}{{(2 - x)}^{2}} {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим правило умножения к $\frac{6 x^{2}}{2 - x}$ .

$\frac{18 (2 (2 - x) x + x^{2})}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{{(6 x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Этап 5.2

Применим правило умножения к $6 x^{2}$ .

$\frac{18 (2 (2 - x) x + x^{2})}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{18 ((2 \cdot 2 + 2 (- x)) x + x^{2})}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Этап 5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{18 (2 \cdot 2 x + 2 (- x) x + x^{2})}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Этап 5.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{18 (2 \cdot 2 x) + 18 (2 (- x) x) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Этап 5.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{18 (4 x) + 18 (2 (- x) x) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Этап 5.6.2

Умножим $4$ на $18$ .

$\frac{72 x + 18 (2 (- x) x) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Этап 5.6.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{72 x + 18 (- 2 x \cdot x) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Этап 5.6.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{72 x + 18 (- 2 (x^{1} x)) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Этап 5.6.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{72 x + 18 (- 2 (x^{1} x^{1})) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Этап 5.6.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{72 x + 18 (- 2 x^{1 + 1}) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Этап 5.6.7

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{72 x + 18 (- 2 x^{2}) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Этап 5.6.8

Умножим $- 2$ на $18$ .

$\frac{72 x - 36 x^{2} + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Этап 5.6.9

Добавим $- 36 x^{2}$ и $18 x^{2}$ .

$\frac{72 x - 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Этап 5.6.10

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\frac{72 x - 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{36 {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Этап 5.6.11

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.11.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{72 x - 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{36 x^{2 \cdot 2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Этап 5.6.11.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{72 x - 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{36 x^{4}}{{(2 - x)}^{2}}$

Этап 5.6.12

Умножим $\frac{72 x - 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$ на $\frac{36 x^{4}}{{(2 - x)}^{2}}$ .

$\frac{(72 x - 18 x^{2}) (36 x^{4})}{{(2 - x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

Этап 5.6.13

Умножим ${(2 - x)}^{2}$ на ${(2 - x)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.13.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(72 x - 18 x^{2}) (36 x^{4})}{{(2 - x)}^{2 + 2}}$

Этап 5.6.13.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{(72 x - 18 x^{2}) (36 x^{4})}{{(2 - x)}^{4}}$

Этап 5.6.14

Перенесем $36$ влево от $72 x - 18 x^{2}$ .

$\frac{36 (72 x - 18 x^{2}) x^{4}}{{(2 - x)}^{4}}$

Этап 5.7

Изменим порядок членов.

$\frac{36 x^{4} (72 x - 18 x^{2})}{{(- x + 2)}^{4}}$

Этап 5.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Вынесем множитель $18 x$ из $72 x - 18 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1.1

Вынесем множитель $18 x$ из $72 x$ .

$\frac{36 x^{4} (18 x (4) - 18 x^{2})}{{(- x + 2)}^{4}}$

Этап 5.8.1.2

Вынесем множитель $18 x$ из $- 18 x^{2}$ .

$\frac{36 x^{4} (18 x (4) + 18 x (- x))}{{(- x + 2)}^{4}}$

Этап 5.8.1.3

Вынесем множитель $18 x$ из $18 x (4) + 18 x (- x)$ .

$\frac{36 x^{4} (18 x (4 - x))}{{(- x + 2)}^{4}}$

$\frac{36 x^{4} \cdot 18 x (4 - x)}{{(- x + 2)}^{4}}$

Этап 5.8.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.1

Умножим $18$ на $36$ .

$\frac{648 x^{4} x (4 - x)}{{(- x + 2)}^{4}}$

Этап 5.8.2.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{648 (x^{1} x^{4}) (4 - x)}{{(- x + 2)}^{4}}$

Этап 5.8.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{648 x^{1 + 4} (4 - x)}{{(- x + 2)}^{4}}$

Этап 5.8.2.4

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{648 x^{5} (4 - x)}{{(- x + 2)}^{4}}$