Математический анализ Примеры

$h (x) = \frac{9}{4 \sqrt{x}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{4 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2

Поскольку $\frac{9}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{9}{4 x^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $\frac{9}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{9}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{9}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Этап 3.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Этап 3.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{9}{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Этап 3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{9}{4} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{4} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Этап 5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{4} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 6

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{4} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9}{4} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{9}{4} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Этап 8.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$\frac{9}{4} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Этап 9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{9}{4} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Этап 10

Объединим $x^{- \frac{3}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{4} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Этап 11

Умножим $\frac{9}{4}$ на $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$- \frac{9 x^{- \frac{3}{2}}}{4 \cdot 2}$

Этап 12

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $4$ на $2$ .

$- \frac{9 x^{- \frac{3}{2}}}{8}$

Этап 12.2

Перенесем $x^{- \frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{9}{8 x^{\frac{3}{2}}}$