Математический анализ Примеры

$f (x) \cdot (4 \ln (3 x^{2} - 5 x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перенесем $4$ влево от $f (x)$ .

$\frac{d}{d x} [4 \cdot f (x) \ln (3 x^{2} - 5 x)]$

Этап 1.2

Поскольку $4 f (x)$ является константой относительно $x$ , производная $4 f (x) \ln (3 x^{2} - 5 x)$ по $x$ равна $4 f (x) \frac{d}{d x} [\ln (3 x^{2} - 5 x)]$ .

$4 f (x) \frac{d}{d x} [\ln (3 x^{2} - 5 x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 3 x^{2} - 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x^{2} - 5 x$ .

$4 f (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x])$

Этап 2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$4 f (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x^{2} - 5 x$ .

$4 f (x) (\frac{1}{3 x^{2} - 5 x} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{3 x^{2} - 5 x}$ и $4$ .

$\frac{4}{3 x^{2} - 5 x} f (x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x]$

Этап 3.2

Объединим $\frac{4}{3 x^{2} - 5 x}$ и $f (x)$ .

$\frac{4 f (x)}{3 x^{2} - 5 x} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x]$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 5 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{4 f (x)}{3 x^{2} - 5 x} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Этап 3.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{4 f (x)}{3 x^{2} - 5 x} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{4 f (x)}{3 x^{2} - 5 x} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Этап 3.6

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{4 f (x)}{3 x^{2} - 5 x} (6 x + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Этап 3.7

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 f (x)}{3 x^{2} - 5 x} (6 x - 5 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{4 f (x)}{3 x^{2} - 5 x} (6 x - 5 \cdot 1)$

Этап 3.9

Умножим $- 5$ на $1$ .

$\frac{4 f (x)}{3 x^{2} - 5 x} (6 x - 5)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок множителей в $\frac{4 f (x)}{3 x^{2} - 5 x} (6 x - 5)$ .

$(6 x - 5) \frac{4 f (x)}{3 x^{2} - 5 x}$

Этап 4.2

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2} - 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2}$ .

$(6 x - 5) \frac{4 f (x)}{x (3 x) - 5 x}$

Этап 4.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 5 x$ .

$(6 x - 5) \frac{4 f (x)}{x (3 x) + x \cdot - 5}$

Этап 4.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x (3 x) + x \cdot - 5$ .

$(6 x - 5) \frac{4 f (x)}{x (3 x - 5)}$

Этап 4.3

Умножим $6 x - 5$ на $\frac{4 f (x)}{x (3 x - 5)}$ .

$\frac{(6 x - 5) (4 f (x))}{x (3 x - 5)}$

Этап 4.4

Перенесем $4$ влево от $6 x - 5$ .

$\frac{4 (6 x - 5) f (x)}{x (3 x - 5)}$