Математический анализ Примеры

$G (x) = {(\frac{1}{x})}^{4} - \ln (x)$

Этап 1

По правилу суммы производная ${(\frac{1}{x})}^{4} - \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [{(\frac{1}{x})}^{4}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{1}{x})}^{4}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [{(\frac{1}{x})}^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{1}{x}$ .

$4 {(\frac{1}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$4 {(\frac{1}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$4 {(\frac{1}{x})}^{3} (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 2.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4 {(\frac{1}{x})}^{3} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \ln (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$- 4 {(\frac{1}{x})}^{3} x^{- 2} - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 3.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$- 4 {(\frac{1}{x})}^{3} x^{- 2} - \frac{1}{x}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 {(\frac{1}{x})}^{3} \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{x}$ .

$- 4 \frac{1^{3}}{x^{3}} \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x}$

Этап 4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$- 4 \frac{1}{x^{3}} \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x}$

Этап 4.3.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 4}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x}$

Этап 4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x}$

Этап 4.3.4

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $\frac{4}{x^{3}}$ .

$- \frac{4}{x^{2} x^{3}} - \frac{1}{x}$

Этап 4.3.5

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{4}{x^{2 + 3}} - \frac{1}{x}$

Этап 4.3.5.2

Добавим $2$ и $3$ .

$- \frac{4}{x^{5}} - \frac{1}{x}$

Этап 4.4

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{5}}$