Математический анализ Примеры

$g (x) = \frac{1 + 2 x}{3 - 4 x}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1 + 2 x$ и $g (x) = 3 - 4 x$ .

$\frac{(3 - 4 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x] - (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [3 - 4 x]}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $1 + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{(3 - 4 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]) - (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [3 - 4 x]}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(3 - 4 x) (0 + \frac{d}{d x} [2 x]) - (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [3 - 4 x]}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{(3 - 4 x) \frac{d}{d x} [2 x] - (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [3 - 4 x]}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Этап 2.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 - 4 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) - (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [3 - 4 x]}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Этап 2.5

Перенесем $2$ влево от $3 - 4 x$ .

$\frac{2 \cdot (3 - 4 x) \frac{d}{d x} [x] - (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [3 - 4 x]}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 (3 - 4 x) \cdot 1 - (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [3 - 4 x]}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Этап 2.7

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 (3 - 4 x) - (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [3 - 4 x]}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Этап 2.8

По правилу суммы производная $3 - 4 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{2 (3 - 4 x) - (1 + 2 x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x])}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Этап 2.9

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (3 - 4 x) - (1 + 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x])}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Этап 2.10

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{2 (3 - 4 x) - (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [- 4 x]}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Этап 2.11

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (3 - 4 x) - (1 + 2 x) (- 4 \frac{d}{d x} [x])}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Этап 2.12

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$\frac{2 (3 - 4 x) + 4 (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [x]}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Этап 2.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 (3 - 4 x) + 4 (1 + 2 x) \cdot 1}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Этап 2.14

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{2 (3 - 4 x) + 4 (1 + 2 x)}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \cdot 3 + 2 (- 4 x) + 4 (1 + 2 x)}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \cdot 3 + 2 (- 4 x) + 4 \cdot 1 + 4 (2 x)}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{6 + 2 (- 4 x) + 4 \cdot 1 + 4 (2 x)}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$\frac{6 - 8 x + 4 \cdot 1 + 4 (2 x)}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Этап 3.3.1.3

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{6 - 8 x + 4 + 4 (2 x)}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Этап 3.3.1.4

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{6 - 8 x + 4 + 8 x}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Объединим противоположные члены в $6 - 8 x + 4 + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $- 8 x$ и $8 x$ .

$\frac{6 + 0 + 4}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Этап 3.3.2.2

Добавим $6$ и $0$ .

$\frac{6 + 4}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Добавим $6$ и $4$ .

$\frac{10}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Этап 3.4

Изменим порядок членов.

$\frac{10}{{(- 4 x + 3)}^{2}}$