Математический анализ Примеры

$\ln (\frac{x}{y})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \frac{x}{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{y}$ .

$\frac{1}{\frac{x}{y}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Этап 2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{x}{y}$ .

$1 \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Этап 3

Умножим $\frac{y}{x}$ на $1$ .

$\frac{y}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{y}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{y}$ по $x$ равна $\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y}{x} (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{1}{y}$ на $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{y x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{y x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{x} \cdot 1$

Этап 7

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$\frac{1}{x}$