Математический анализ Примеры

$\ln (x^{2} \sin (x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{2} \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} \sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} \sin (x)$ .

$\frac{1}{x^{2} \sin (x)} \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{1}{x^{2} \sin (x)} (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{1}{x^{2} \sin (x)} (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} \sin (x)} (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x))$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{x^{2} \sin (x)} (x^{2} \cos (x)) + \frac{1}{x^{2} \sin (x)} (\sin (x) (2 x))$

Этап 5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{x^{2} \sin (x)}$ .

$\frac{x^{2}}{x^{2} \sin (x)} \cos (x) + \frac{1}{x^{2} \sin (x)} (\sin (x) (2 x))$

Этап 5.2.2

Объединим $\frac{x^{2}}{x^{2} \sin (x)}$ и $\cos (x)$ .

$\frac{x^{2} \cos (x)}{x^{2} \sin (x)} + \frac{1}{x^{2} \sin (x)} (\sin (x) (2 x))$

Этап 5.2.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} \cos (x)}{x^{2} \sin (x)} + \frac{1}{x^{2} \sin (x)} (\sin (x) (2 x))$

Этап 5.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{x^{2} \sin (x)} (\sin (x) (2 x))$

Этап 5.2.4

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$\cot (x) + \frac{1}{x^{2} \sin (x)} (\sin (x) (2 x))$

Этап 5.2.5

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{1}{x^{2} \sin (x)}$ .

$\cot (x) + \frac{\sin (x)}{x^{2} \sin (x)} (2 x)$

Этап 5.2.6

Объединим $2$ и $\frac{\sin (x)}{x^{2} \sin (x)}$ .

$\cot (x) + \frac{2 \sin (x)}{x^{2} \sin (x)} x$

Этап 5.2.7

Объединим $\frac{2 \sin (x)}{x^{2} \sin (x)}$ и $x$ .

$\cot (x) + \frac{2 \sin (x) x}{x^{2} \sin (x)}$

Этап 5.2.8

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Сократим общий множитель.

$\cot (x) + \frac{2 \sin (x) x}{x^{2} \sin (x)}$

Этап 5.2.8.2

Перепишем это выражение.

$\cot (x) + \frac{2 x}{x^{2}}$

Этап 5.2.9

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$\cot (x) + \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Этап 5.2.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\cot (x) + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Этап 5.2.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\cot (x) + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Этап 5.2.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\cot (x) + \frac{2}{x}$

Этап 5.3

Изменим порядок членов.

$\frac{2}{x} + \cot (x)$