Математический анализ Примеры

$\ln (x^{k})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{k}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{k}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{k}]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{k}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{k}$ .

$\frac{1}{x^{k}} \frac{d}{d x} [x^{k}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = k$ .

$\frac{1}{x^{k}} (k x^{k - 1})$

Этап 2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим $k$ и $\frac{1}{x^{k}}$ .

$\frac{k}{x^{k}} x^{k - 1}$

Этап 2.2.2

Объединим $\frac{k}{x^{k}}$ и $x^{k - 1}$ .

$\frac{k x^{k - 1}}{x^{k}}$

Этап 2.2.3

Сократим общий множитель $x^{k - 1}$ и $x^{k}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Вынесем множитель $x^{k}$ из $k x^{k - 1}$ .

$\frac{x^{k} (k x^{- 1})}{x^{k}}$

Этап 2.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{x^{k} (k x^{- 1})}{x^{k} \cdot 1}$

Этап 2.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{k} (k x^{- 1})}{x^{k} \cdot 1}$

Этап 2.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{k x^{- 1}}{1}$

Этап 2.2.3.2.4

Разделим $k x^{- 1}$ на $1$ .

$k x^{- 1}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$k \frac{1}{x}$

Этап 3.2

Объединим $k$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{k}{x}$