Математический анализ Примеры

$\ln (2^{- x})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 2^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2^{- x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [2^{- x}]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [2^{- x}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2^{- x}$ .

$\frac{1}{2^{- x}} \frac{d}{d x} [2^{- x}]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- x$ .

$\frac{1}{2^{- x}} (\frac{d}{d u_{2}} [2^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $2$ .

$\frac{1}{2^{- x}} (2^{u_{2}} \ln (2) \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- x$ .

$\frac{1}{2^{- x}} (2^{- x} \ln (2) \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $2^{- x}$ и $\frac{1}{2^{- x}}$ .

$\frac{2^{- x}}{2^{- x}} (\ln (2) \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\ln (2)$ и $\frac{2^{- x}}{2^{- x}}$ .

$\frac{\ln (2) \cdot 2^{- x}}{2^{- x}} \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $2^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (2) \cdot 2^{- x}}{2^{- x}} \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 3.2.2.2

Разделим $\ln (2)$ на $1$ .

$\ln (2) \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\ln (2) (- \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\ln (2) (- 1 \cdot 1)$

Этап 3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\ln (2) \cdot - 1$

Этап 3.5.2

Перенесем $- 1$ влево от $\ln (2)$ .

$- 1 \cdot \ln (2)$

Этап 3.5.3

Перепишем $- 1 \ln (2)$ в виде $- \ln (2)$ .

$- \ln (2)$