Математический анализ Примеры

$\ln (\frac{e}{e - x})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \frac{e}{e - x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\frac{e}{e - x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\frac{e}{e - x}$ .

$\frac{1}{\frac{e}{e - x}} \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

Этап 2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{e}{e - x}$ .

$1 \frac{e - x}{e} \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{e - x}{e}$ на $1$ .

$\frac{e - x}{e} \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

Этап 3.2

Поскольку $e$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{e}{e - x}$ по $x$ равна $e \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}]$ .

$\frac{e - x}{e} (e \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}])$

Этап 3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Объединим $e$ и $\frac{e - x}{e}$ .

$\frac{e (e - x)}{e} \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}]$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель $e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e (e - x)}{e} \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}]$

Этап 3.3.2.2

Разделим $e - x$ на $1$ .

$(e - x) \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}]$

Этап 3.3.3

Перепишем $\frac{1}{e - x}$ в виде ${(e - x)}^{- 1}$ .

$(e - x) \frac{d}{d x} [{(e - x)}^{- 1}]$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $e - x$ .

$(e - x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [e - x])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$(e - x) (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [e - x])$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $e - x$ .

$(e - x) (- {(e - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [e - x])$

Этап 5

Возведем $e - x$ в степень $1$ .

$- ({(e - x)}^{1} {(e - x)}^{- 2}) \frac{d}{d x} [e - x]$

Этап 6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- {(e - x)}^{1 - 2} \frac{d}{d x} [e - x]$

Этап 7

Вычтем $2$ из $1$ .

$- {(e - x)}^{- 1} \frac{d}{d x} [e - x]$

Этап 8

По правилу суммы производная $e - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- {(e - x)}^{- 1} (\frac{d}{d x} [e] + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 9

Поскольку $e$ является константой относительно $x$ , производная $e$ относительно $x$ равна $0$ .

$- {(e - x)}^{- 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 10

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- {(e - x)}^{- 1} \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(e - x)}^{- 1} (- \frac{d}{d x} [x])$

Этап 12

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 {(e - x)}^{- 1} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 12.2

Умножим ${(e - x)}^{- 1}$ на $1$ .

${(e - x)}^{- 1} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

${(e - x)}^{- 1} \cdot 1$

Этап 14

Умножим ${(e - x)}^{- 1}$ на $1$ .

${(e - x)}^{- 1}$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e - x}$

Этап 15.2

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{- x + e}$

Этап 15.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{1}{- (x) + e}$

Этап 15.4

Вынесем множитель $- 1$ из $e$ .

$\frac{1}{- (x) - 1 (- e)}$

Этап 15.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- e)$ .

$\frac{1}{- (x - e)}$

Этап 15.6

Перепишем $- (x - e)$ в виде $- 1 (x - e)$ .

$\frac{1}{- 1 (x - e)}$

Этап 15.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{x - e}$