Математический анализ Примеры

$\ln (\frac{1}{x + 1})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \frac{1}{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{x + 1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$

Этап 2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{x + 1}$ .

$1 (x + 1) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $x + 1$ на $1$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{1}{x + 1}$ в виде ${(x + 1)}^{- 1}$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- 1}]$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x + 1$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$(x + 1) (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + 1$ .

$(x + 1) (- {(x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 5

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$- ({(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{- 2}) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- {(x + 1)}^{1 - 2} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 7

Вычтем $2$ из $1$ .

$- {(x + 1)}^{- 1} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 8

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- {(x + 1)}^{- 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 10

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- {(x + 1)}^{- 1} (1 + 0)$

Этап 11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- {(x + 1)}^{- 1} \cdot 1$

Этап 11.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- {(x + 1)}^{- 1}$

Этап 12

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x + 1}$