Математический анализ Примеры

$f (x) = 8 \arcsin (x^{2})$

Этап 1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 \arcsin (x^{2})$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [\arcsin (x^{2})]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\arcsin (x^{2})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arcsin (x)$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$8 (\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.2

Производная $\arcsin (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$8 (\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$8 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(x^{2})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 (\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2 \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$8 (\frac{1}{\sqrt{1 - x^{4}}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.2

Объединим $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{4}}}$ и $8$ .

$\frac{8}{\sqrt{1 - x^{4}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{8}{\sqrt{1 - x^{4}}} (2 x)$

Этап 3.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Объединим $2$ и $\frac{8}{\sqrt{1 - x^{4}}}$ .

$\frac{2 \cdot 8}{\sqrt{1 - x^{4}}} x$

Этап 3.4.2

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{16}{\sqrt{1 - x^{4}}} x$

Этап 3.4.3

Объединим $\frac{16}{\sqrt{1 - x^{4}}}$ и $x$ .

$\frac{16 x}{\sqrt{1 - x^{4}}}$