Математический анализ Примеры

$\int \cos (\ln (x)) d x$

Этап 1

Пусть $u = \ln (x)$ . Тогда $d u = \frac{1}{x} d x$ , следовательно $x d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

$\int e^{u} \cos (u) d u$

Этап 2

Изменим порядок $e^{u}$ и $\cos (u)$ .

$\int \cos (u) e^{u} d u$

Этап 3

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int w d v = w v - \int v d w$ , где $w = \cos (u)$ и $dv = e^{u}$ .

$\cos (u) e^{u} - \int e^{u} (- \sin (u)) d u$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\cos (u) e^{u} - - \int e^{u} (\sin (u)) d u$

Этап 5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\cos (u) e^{u} + 1 \int e^{u} (\sin (u)) d u$

Этап 5.2

Умножим $\int e^{u} (\sin (u)) d u$ на $1$ .

$\cos (u) e^{u} + \int e^{u} (\sin (u)) d u$

Этап 5.3

Изменим порядок $e^{u}$ и $\sin (u)$ .

$\cos (u) e^{u} + \int \sin (u) e^{u} d u$

Этап 6

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int w d v = w v - \int v d w$ , где $w = \sin (u)$ и $dv = e^{u}$ .

$\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u} - \int e^{u} \cos (u) d u$

Этап 7

Найдя решение для $\int e^{u} \cos (u) d u$ , получим $\int e^{u} \cos (u) d u$ = $\frac{\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}}{2}$ .

$\frac{\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}}{2} + C$

Этап 8

Перепишем $\frac{\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}}{2} + C$ в виде $\frac{1}{2} (\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}) + C$ .

$\frac{1}{2} (\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}) + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) e^{\ln (x)} + \sin (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) x + \sin (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

Этап 10.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) x + \sin (\ln (x)) x) + C$