Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 5} \frac{5 - \sqrt{5 x}}{x - 5}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 5} 5 - \sqrt{5 x}}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} 5 - lim_{x \to 5} \sqrt{5 x}}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Этап 1.1.2.1.2

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$\frac{5 - lim_{x \to 5} \sqrt{5 x}}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Этап 1.1.2.1.3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{5 - \sqrt{lim_{x \to 5} 5 x}}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Этап 1.1.2.1.4

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 - \sqrt{5 lim_{x \to 5} x}}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{5 - \sqrt{5 \cdot 5}}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{5 - \sqrt{25}}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{5 - \sqrt{5^{2}}}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{5 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Этап 1.1.2.3.1.4

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{5 - 5}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $5$ из $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{0}{5 - 1 \cdot 5}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{0}{5 - 5}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $5$ из $5$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 5} \frac{5 - \sqrt{5 x}}{x - 5} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{5 x}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{5 x}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $5 - \sqrt{5 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x}]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 x}$ в виде ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(5 x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.4.2

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(5 (x))}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.4.3

Применим правило умножения к $5 (x)$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.4.4

Поскольку $- 5^{\frac{1}{2}}$ является константой относительно $x$ , производная $- 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- 5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 - 5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 - 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.4.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 - 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.4.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 - 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.4.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 5} \frac{0 - 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.4.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 - 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.4.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 - 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.4.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 5} \frac{0 - 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.4.11

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 - 5^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.4.12

Объединим $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $5^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 - \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.4.13

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 - \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.5

Вычтем $\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ из $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{- \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{- \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{- \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{- \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Этап 1.3.9

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{- \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 5} - \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Этап 1.5

Переведем дробные показатели степени в форму с радикалами.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перепишем $5^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{5}$ .

$lim_{x \to 5} - \frac{\sqrt{5}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Этап 1.5.2

Перепишем $x^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 5} - \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}} \cdot 1$

Этап 1.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 5} - \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- lim_{x \to 5} \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}}$

Этап 2.2

Вынесем член $\frac{\sqrt{5}}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{2} lim_{x \to 5} \frac{1}{\sqrt{x}}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 5} 1}{lim_{x \to 5} \sqrt{x}}$

Этап 2.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 5} \sqrt{x}}$

Этап 2.5

Внесем предел под знак радикала.

$- \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 5} x}}$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель $\sqrt{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{5}}{2}$ в числитель.

$\frac{- \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $\sqrt{5}$ из $- \sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{5} \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}$

Этап 4.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{5} \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}$

Этап 4.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{2}$

Этап 4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$- 0.5$