Математический анализ Примеры

Trovare la Derivata - d/dx f(x) = натуральный логарифм ( квадратный корень из x^2+1)/(x(2x^3-1)^2)
Этап 1
С помощью запишем в виде .
Этап 2
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 2.2
Производная по равна .
Этап 2.3
Заменим все вхождения на .
Этап 3
Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на .
Этап 4
Умножим на .
Этап 5
Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 6
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 6.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 6.3
Заменим все вхождения на .
Этап 7
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 8
Объединим и .
Этап 9
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 10
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.1
Умножим на .
Этап 10.2
Вычтем из .
Этап 11
Объединим дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 11.1
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 11.2
Объединим и .
Этап 11.3
Перенесем в знаменатель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 11.4
Объединим и .
Этап 11.5
Объединим и .
Этап 12
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 13
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 14
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 15
Объединим дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 15.1
Добавим и .
Этап 15.2
Объединим и .
Этап 15.3
Объединим и .
Этап 16
Возведем в степень .
Этап 17
Возведем в степень .
Этап 18
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 19
Добавим и .
Этап 20
Сократим общий множитель.
Этап 21
Перепишем это выражение.
Этап 22
Умножим на .
Этап 23
Объединим.
Этап 24
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 25
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 25.1
Сократим общий множитель.
Этап 25.2
Перепишем это выражение.
Этап 26
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 26.1
Перенесем .
Этап 26.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 26.3
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 26.4
Добавим и .
Этап 26.5
Разделим на .
Этап 27
Упростим .
Этап 28
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 29
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 29.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 29.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 29.3
Заменим все вхождения на .
Этап 30
Продифференцируем.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 30.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 30.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 30.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 30.4
Умножим на .
Этап 30.5
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 30.6
Упростим выражение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 30.6.1
Добавим и .
Этап 30.6.2
Умножим на .
Этап 31
Возведем в степень .
Этап 32
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 33
Добавим и .
Этап 34
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 35
Объединим дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 35.1
Умножим на .
Этап 35.2
Умножим на .
Этап 36
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 36.1
Перенесем .
Этап 36.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 36.3
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 36.4
Добавим и .
Этап 36.5
Разделим на .
Этап 37
Упростим .
Этап 38
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 38.1
Применим правило умножения к .
Этап 38.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 38.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 38.4
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 38.5
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 38.5.1
Объединим показатели степеней.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 38.5.1.1
Умножим на .
Этап 38.5.1.2
Умножим на .
Этап 38.5.1.3
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 38.5.1.3.1
Перенесем .
Этап 38.5.1.3.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 38.5.1.3.3
Добавим и .
Этап 38.5.1.4
Умножим на .
Этап 38.5.1.5
Умножим на .
Этап 38.5.2
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 38.5.2.1
Перепишем в виде .
Этап 38.5.2.2
Развернем , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 38.5.2.2.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 38.5.2.2.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 38.5.2.2.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 38.5.2.3
Упростим и объединим подобные члены.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 38.5.2.3.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 38.5.2.3.1.1
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 38.5.2.3.1.2
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 38.5.2.3.1.2.1
Перенесем .
Этап 38.5.2.3.1.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 38.5.2.3.1.2.3
Добавим и .
Этап 38.5.2.3.1.3
Умножим на .
Этап 38.5.2.3.1.4
Умножим на .
Этап 38.5.2.3.1.5
Умножим на .
Этап 38.5.2.3.1.6
Умножим на .
Этап 38.5.2.3.2
Вычтем из .
Этап 38.5.2.4
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 38.5.2.5
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 38.5.2.5.1
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 38.5.2.5.2
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 38.5.2.5.3
Умножим на .
Этап 38.5.2.6
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 38.5.2.6.1
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 38.5.2.6.1.1
Перенесем .
Этап 38.5.2.6.1.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 38.5.2.6.1.3
Добавим и .
Этап 38.5.2.6.2
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 38.5.2.6.2.1
Перенесем .
Этап 38.5.2.6.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 38.5.2.6.2.3
Добавим и .
Этап 38.5.2.7
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 38.5.2.7.1
Перепишем в виде .
Этап 38.5.2.7.2
Развернем , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 38.5.2.7.2.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 38.5.2.7.2.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 38.5.2.7.2.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 38.5.2.7.3
Упростим и объединим подобные члены.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 38.5.2.7.3.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 38.5.2.7.3.1.1
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 38.5.2.7.3.1.2
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 38.5.2.7.3.1.2.1
Перенесем .
Этап 38.5.2.7.3.1.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 38.5.2.7.3.1.2.3
Добавим и .
Этап 38.5.2.7.3.1.3
Умножим на .
Этап 38.5.2.7.3.1.4
Умножим на .
Этап 38.5.2.7.3.1.5
Умножим на .
Этап 38.5.2.7.3.1.6
Умножим на .
Этап 38.5.2.7.3.2
Вычтем из .
Этап 38.5.2.7.4
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 38.5.2.7.5
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 38.5.2.7.5.1
Умножим на .
Этап 38.5.2.7.5.2
Умножим на .
Этап 38.5.2.7.5.3
Умножим на .
Этап 38.5.2.8
Вычтем из .
Этап 38.5.2.9
Добавим и .
Этап 38.5.2.10
Развернем , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.
Этап 38.5.2.11
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 38.5.2.11.1
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 38.5.2.11.2
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 38.5.2.11.2.1
Перенесем .
Этап 38.5.2.11.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 38.5.2.11.2.3
Добавим и .
Этап 38.5.2.11.3
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 38.5.2.11.4
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 38.5.2.11.4.1
Перенесем .
Этап 38.5.2.11.4.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 38.5.2.11.4.3
Добавим и .
Этап 38.5.2.11.5
Перенесем влево от .
Этап 38.5.2.11.6
Перепишем в виде .
Этап 38.5.2.11.7
Умножим на .
Этап 38.5.2.11.8
Умножим на .
Этап 38.5.2.11.9
Умножим на .
Этап 38.5.3
Объединим противоположные члены в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 38.5.3.1
Вычтем из .
Этап 38.5.3.2
Добавим и .
Этап 38.5.4
Вычтем из .
Этап 38.5.5
Добавим и .
Этап 38.5.6
Изменим порядок членов.
Этап 38.6
Объединим термины.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 38.6.1
Перемножим экспоненты в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 38.6.1.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 38.6.1.2
Умножим на .
Этап 38.6.2
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 38.6.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 38.6.2.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 38.6.2.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 38.6.2.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 38.6.2.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 38.6.3
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 38.6.3.1
Вынесем множитель из .
Этап 38.6.3.2
Сократим общий множитель.
Этап 38.6.3.3
Перепишем это выражение.
Этап 38.7
Изменим порядок членов.
Этап 38.8
Вынесем множитель из .
Этап 38.9
Вынесем множитель из .
Этап 38.10
Вынесем множитель из .
Этап 38.11
Вынесем множитель из .
Этап 38.12
Вынесем множитель из .
Этап 38.13
Вынесем множитель из .
Этап 38.14
Вынесем множитель из .
Этап 38.15
Перепишем в виде .
Этап 38.16
Вынесем множитель из .
Этап 38.17
Перепишем в виде .
Этап 38.18
Вынесем знак минуса перед дробью.