Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (\frac{x^{2} - 7}{x})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \frac{x^{2} - 7}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x^{2} - 7}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x^{2} - 7}{x}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2} - 7}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

Этап 2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{x^{2} - 7}{x}$ .

$1 \frac{x}{x^{2} - 7} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

Этап 3

Умножим $\frac{x}{x^{2} - 7}$ на $1$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} - 7$ и $g (x) = x$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} - 7] - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5.3

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5.4

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x (2 x) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 9

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 11

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7)}{x^{2}}$

Этап 11.2

Умножим $\frac{x}{x^{2} - 7}$ на $\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7)}{x^{2}}$ .

$\frac{x (2 x^{2} - (x^{2} - 7))}{(x^{2} - 7) x^{2}}$

Этап 12

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Вынесем множитель $x$ из $(x^{2} - 7) x^{2}$ .

$\frac{x (2 x^{2} - (x^{2} - 7))}{x ((x^{2} - 7) x)}$

Этап 12.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x (2 x^{2} - (x^{2} - 7))}{x ((x^{2} - 7) x)}$

Этап 12.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7)}{(x^{2} - 7) x}$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - - 7}{(x^{2} - 7) x}$

Этап 13.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - - 7}{x^{2} x - 7 x}$

Этап 13.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} + 7}{x^{2} x - 7 x}$

Этап 13.3.2

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 7}{x^{2} x - 7 x}$

Этап 13.4

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{2} + 7}{x^{2} x^{1} - 7 x}$

Этап 13.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{2} + 7}{x^{2 + 1} - 7 x}$

Этап 13.4.2

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{x^{2} + 7}{x^{3} - 7 x}$

Этап 13.5

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - 7 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} + 7}{x \cdot x^{2} - 7 x}$

Этап 13.5.2

Вынесем множитель $x$ из $- 7 x$ .

$\frac{x^{2} + 7}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 7}$

Этап 13.5.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x \cdot - 7$ .

$\frac{x^{2} + 7}{x (x^{2} - 7)}$