Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (\frac{x^{5}}{3})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \frac{x^{5}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x^{5}}{3}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{3}]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{3}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x^{5}}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{5}}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{3}]$

Этап 2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{x^{5}}{3}$ .

$1 \frac{3}{x^{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{3}]$

Этап 3

Умножим $\frac{3}{x^{5}}$ на $1$ .

$\frac{3}{x^{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{3}]$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{5}}{3}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{3}{x^{5}} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{3}{x^{5}}$ .

$\frac{3}{3 x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{3 x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Этап 5.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{1}{x^{5}} (5 x^{4})$

Этап 7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $5$ и $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{5}{x^{5}} x^{4}$

Этап 7.2

Объединим $\frac{5}{x^{5}}$ и $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{x^{5}}$

Этап 7.3

Сократим общий множитель $x^{4}$ и $x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Вынесем множитель $x^{4}$ из $5 x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \cdot 5}{x^{5}}$

Этап 7.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Вынесем множитель $x^{4}$ из $x^{5}$ .

$\frac{x^{4} \cdot 5}{x^{4} x}$

Этап 7.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{4} \cdot 5}{x^{4} x}$

Этап 7.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{x}$