Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ .

$\frac{1}{\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})]$

Этап 2

Выразим $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\frac{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}} \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})]$

Этап 3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})]$

Этап 4

Переведем $\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ в $\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ .

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})]$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\frac{x}{2} + \frac{π}{4}$ .

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + \frac{π}{4}])$

Этап 5.2

Производная $\tan (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + \frac{π}{4}])$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\frac{x}{2} + \frac{π}{4}$ .

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + \frac{π}{4}])$

Этап 6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

По правилу суммы производная $\frac{x}{2} + \frac{π}{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ .

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

Этап 6.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

Этап 6.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

Этап 6.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

Этап 6.5

Поскольку $\frac{π}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{π}{4}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\frac{1}{2} + 0)$

Этап 6.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \frac{1}{2}$

Этап 6.6.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ .

$\frac{\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2} \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$

Этап 6.6.3

Объединим $\frac{\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$ и $\sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ .

$\frac{\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Выразим $\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ через синусы и косинусы.

$\frac{\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

Этап 7.1.2

Выразим $\sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ через синусы и косинусы.

$\frac{\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})})}^{2}}{2}$

Этап 7.1.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ .

$\frac{\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \cdot \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}}{2}$

Этап 7.1.4

Сократим общий множитель $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Вынесем множитель $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ из $\cos^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ .

$\frac{\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \cdot \frac{1^{2}}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}}{2}$

Этап 7.1.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \cdot \frac{1^{2}}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}}{2}$

Этап 7.1.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{1}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \cdot \frac{1^{2}}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}}{2}$

Этап 7.1.5

Умножим $\frac{1}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ на $\frac{1^{2}}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}}{2}$

Этап 7.1.6

Разделим дроби.

$\frac{\frac{1^{2}}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \cdot \frac{1}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}}{2}$

Этап 7.1.7

Переведем $\frac{1}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ в $\csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

Этап 7.1.8

Разделим дроби.

$\frac{\frac{1^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

Этап 7.1.9

Переведем $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ в $\sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{1} \sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

Этап 7.1.10

Разделим $1^{2}$ на $1$ .

$\frac{1^{2} \sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

Этап 7.1.11

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1 \sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

Этап 7.1.12

Умножим $\sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ на $1$ .

$\frac{\sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

Этап 7.2

Изменим порядок членов.

$\frac{\csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$