Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (x) \cdot \ln (2 x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \ln (2 x)$ .

$\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (2 x)] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$\ln (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$\ln (x) (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{2 x}$ и $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\ln (x)}{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Объединим $2$ и $\frac{\ln (x)}{2 x}$ .

$\frac{2 \ln (x)}{2 x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \ln (x)}{2 x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (x)}{x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\ln (x)}{x} \cdot 1 + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 3.5

Умножим $\frac{\ln (x)}{x}$ на $1$ .

$\frac{\ln (x)}{x} + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 4

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x)}{x} + \ln (2 x) \frac{1}{x}$

Этап 5

Объединим $\ln (2 x)$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x)}{x} + \frac{\ln (2 x)}{x}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\ln (x) + \ln (2 x)}{x}$

Этап 6.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln (x (2 x))}{x}$

Этап 6.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\ln (2 x \cdot x)}{x}$

Этап 6.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{\ln (2 (x \cdot x))}{x}$

Этап 6.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{\ln (2 x^{2})}{x}$