Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (4 x^{2} + 3 x - 1)$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 4 x^{2} + 3 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x^{2} + 3 x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3 x - 1]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3 x - 1]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x^{2} + 3 x - 1$ .

$\frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3 x - 1]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 x^{2} + 3 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.4

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1} (8 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1} (8 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1} (8 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.7

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1} (8 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.8

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1} (8 x + 3 + 0)$

Этап 2.9

Добавим $8 x + 3$ и $0$ .

$\frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1} (8 x + 3)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1} (8 x + 3)$ .

$(8 x + 3) \frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1}$

Этап 3.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot - 1 = - 4$ , а сумма — $b = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$(8 x + 3) \frac{1}{4 x^{2} + 3 (x) - 1}$

Этап 3.2.1.2

Запишем $3$ как $- 1$ плюс $4$

$(8 x + 3) \frac{1}{4 x^{2} + (- 1 + 4) x - 1}$

Этап 3.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(8 x + 3) \frac{1}{4 x^{2} - 1 x + 4 x - 1}$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(8 x + 3) \frac{1}{(4 x^{2} - 1 x) + 4 x - 1}$

Этап 3.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(8 x + 3) \frac{1}{x (4 x - 1) + 1 (4 x - 1)}$

Этап 3.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 x - 1$ .

$(8 x + 3) \frac{1}{(4 x - 1) (x + 1)}$

Этап 3.3

Умножим $8 x + 3$ на $\frac{1}{(4 x - 1) (x + 1)}$ .

$\frac{8 x + 3}{(4 x - 1) (x + 1)}$