Математический анализ Примеры

$x - 6 \ln (x^{2} + 1)$

Этап 1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $x - 6 \ln (x^{2} + 1)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 \ln (x^{2} + 1)$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$ .

$1 - 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 1$ .

$1 - 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 2.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$1 - 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]))$

Этап 2.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0))$

Этап 2.6

Добавим $2 x$ и $0$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x))$

Этап 2.7

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$1 - 6 (\frac{2}{x^{2} + 1} x)$

Этап 2.8

Объединим $\frac{2}{x^{2} + 1}$ и $x$ .

$1 - 6 \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Этап 2.9

Объединим $- 6$ и $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

$1 + \frac{- 6 (2 x)}{x^{2} + 1}$

Этап 2.10

Умножим $2$ на $- 6$ .

$1 + \frac{- 12 x}{x^{2} + 1}$

Этап 2.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1 - \frac{12 x}{x^{2} + 1}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} - \frac{12 x}{x^{2} + 1}$

Этап 3.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{2} + 1 - 12 x}{x^{2} + 1}$

Этап 3.2

Изменим порядок членов.

$\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1}$