Математический анализ Примеры

$y = (x^{2} + 3) (5 x - 4)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2} + 3$ и $g (x) = 5 x - 4$ .

$(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [5 x - 4] + (5 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $5 x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (5 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Этап 2.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} + 3) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (5 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x^{2} + 3) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (5 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Этап 2.4

Умножим $5$ на $1$ .

$(x^{2} + 3) (5 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (5 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Этап 2.5

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x^{2} + 3) (5 + 0) + (5 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $5$ и $0$ .

$(x^{2} + 3) \cdot 5 + (5 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Этап 2.6.2

Перенесем $5$ влево от $x^{2} + 3$ .

$5 \cdot (x^{2} + 3) + (5 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $x^{2} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$5 (x^{2} + 3) + (5 x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$5 (x^{2} + 3) + (5 x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.9

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 (x^{2} + 3) + (5 x - 4) (2 x + 0)$

Этап 2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$5 (x^{2} + 3) + (5 x - 4) (2 x)$

Этап 2.10.2

Перенесем $2$ влево от $5 x - 4$ .

$5 (x^{2} + 3) + 2 \cdot (5 x - 4) x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} + 5 \cdot 3 + 2 (5 x - 4) x$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} + 5 \cdot 3 + (2 (5 x) + 2 \cdot - 4) x$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} + 5 \cdot 3 + 2 (5 x) x + 2 \cdot - 4 x$

Этап 3.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $5$ на $3$ .

$5 x^{2} + 15 + 2 (5 x) x + 2 \cdot - 4 x$

Этап 3.4.2

Умножим $5$ на $2$ .

$5 x^{2} + 15 + 10 x \cdot x + 2 \cdot - 4 x$

Этап 3.4.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$5 x^{2} + 15 + 10 (x^{1} x) + 2 \cdot - 4 x$

Этап 3.4.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$5 x^{2} + 15 + 10 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 4 x$

Этап 3.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 x^{2} + 15 + 10 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 4 x$

Этап 3.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$5 x^{2} + 15 + 10 x^{2} + 2 \cdot - 4 x$

Этап 3.4.7

Умножим $2$ на $- 4$ .

$5 x^{2} + 15 + 10 x^{2} - 8 x$

Этап 3.4.8

Добавим $5 x^{2}$ и $10 x^{2}$ .

$15 x^{2} + 15 - 8 x$

Этап 3.5

Изменим порядок членов.

$15 x^{2} - 8 x + 15$