Математический анализ Примеры

$y = (\sqrt[9]{x} - \frac{9}{x})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[9]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{9}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}} - \frac{9}{x}]$

Этап 2

По правилу суммы производная $x^{\frac{1}{9}} - \frac{9}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{9} x^{\frac{1}{9} - 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x}]$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{9} x^{\frac{1}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}} + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x}]$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{9} x^{\frac{1}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}} + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x}]$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{9} x^{\frac{1 - 1 \cdot 9}{9}} + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x}]$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{1}{9} x^{\frac{1 - 9}{9}} + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x}]$

Этап 7.2

Вычтем $9$ из $1$ .

$\frac{1}{9} x^{\frac{- 8}{9}} + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x}]$

Этап 8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{9} x^{- \frac{8}{9}} + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x}]$

Этап 9

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{9}{x}$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{9} x^{- \frac{8}{9}} - 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 10

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{9} x^{- \frac{8}{9}} - 9 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{1}{9} x^{- \frac{8}{9}} - 9 (- x^{- 2})$

Этап 12

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$\frac{1}{9} x^{- \frac{8}{9}} + 9 x^{- 2}$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{x^{\frac{8}{9}}} + 9 x^{- 2}$

Этап 13.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{x^{\frac{8}{9}}} + 9 \frac{1}{x^{2}}$

Этап 13.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Умножим $\frac{1}{9}$ на $\frac{1}{x^{\frac{8}{9}}}$ .

$\frac{1}{9 x^{\frac{8}{9}}} + 9 \frac{1}{x^{2}}$

Этап 13.3.2

Объединим $9$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{9 x^{\frac{8}{9}}} + \frac{9}{x^{2}}$

Этап 13.4

Изменим порядок членов.

$\frac{9}{x^{2}} + \frac{1}{9 x^{\frac{8}{9}}}$