Математический анализ Примеры

$y = (4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6$ и $g (x) = e^{x^{3}}$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}] + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3}$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3}$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) (e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Этап 3.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Этап 3.5

Умножим $3$ на $4$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Этап 3.6

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{2}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Этап 3.8

Умножим $2$ на $- 2$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Этап 3.9

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 4 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Этап 3.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 4 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Этап 3.11

Умножим $8$ на $1$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 4 x + 8 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Этап 3.12

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 4 x + 8 + 0)$

Этап 3.13

Добавим $12 x^{2} - 4 x + 8$ и $0$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 4 x + 8)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(4 x^{3} e^{x^{3}} - 2 x^{2} e^{x^{3}} + 8 x e^{x^{3}} - 6 e^{x^{3}}) (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 4 x + 8)$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{3} e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 2 x^{2} e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 4 x + 8)$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{3} e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 2 x^{2} e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Этап 4.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $3$ на $4$ .

$12 x^{3} e^{x^{3}} x^{2} - 2 x^{2} e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Этап 4.4.2

Умножим $x^{3}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$12 (x^{2} x^{3}) e^{x^{3}} - 2 x^{2} e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Этап 4.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 x^{2 + 3} e^{x^{3}} - 2 x^{2} e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Этап 4.4.2.3

Добавим $2$ и $3$ .

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 2 x^{2} e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Этап 4.4.3

Умножим $3$ на $- 2$ .

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{2} e^{x^{3}} x^{2} + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Этап 4.4.4

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.4.1

Перенесем $x^{2}$ .

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 (x^{2} x^{2}) e^{x^{3}} + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Этап 4.4.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{2 + 2} e^{x^{3}} + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Этап 4.4.4.3

Добавим $2$ и $2$ .

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Этап 4.4.5

Умножим $3$ на $8$ .

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 x e^{x^{3}} x^{2} - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Этап 4.4.6

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.1

Перенесем $x^{2}$ .

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 (x^{2} x) e^{x^{3}} - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Этап 4.4.6.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 (x^{2} x^{1}) e^{x^{3}} - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Этап 4.4.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 x^{2 + 1} e^{x^{3}} - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Этап 4.4.6.3

Добавим $2$ и $1$ .

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 x^{3} e^{x^{3}} - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Этап 4.4.7

Умножим $3$ на $- 6$ .

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 x^{3} e^{x^{3}} - 18 e^{x^{3}} x^{2} + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Этап 4.4.8

Перенесем $8$ влево от $e^{x^{3}}$ .

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 x^{3} e^{x^{3}} - 18 e^{x^{3}} x^{2} + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + 8 \cdot e^{x^{3}}$

Этап 4.4.9

Перенесем $e^{x^{3}}$ .

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 x^{3} e^{x^{3}} - 18 x^{2} e^{x^{3}} + 12 x^{2} e^{x^{3}} + e^{x^{3}} (- 4 x) + 8 e^{x^{3}}$

Этап 4.4.10

Добавим $- 18 x^{2} e^{x^{3}}$ и $12 x^{2} e^{x^{3}}$ .

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 x^{3} e^{x^{3}} - 6 x^{2} e^{x^{3}} + e^{x^{3}} (- 4 x) + 8 e^{x^{3}}$

Этап 4.5

Изменим порядок членов.

$12 e^{x^{3}} x^{5} - 6 e^{x^{3}} x^{4} + 24 e^{x^{3}} x^{3} - 6 e^{x^{3}} x^{2} - 4 e^{x^{3}} x + 8 e^{x^{3}}$