Математический анализ Примеры

$y = (3 x^{2} - 2 x + 3) (1 - 4 x - x^{2})$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 3 x^{2} - 2 x + 3$ и $g (x) = 1 - 4 x - x^{2}$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 3) \frac{d}{d x} [1 - 4 x - x^{2}] + (1 - 4 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 3]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $1 - 4 x - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 3) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (1 - 4 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 3]$

Этап 2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 3) (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (1 - 4 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 3]$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 3) (\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (1 - 4 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 3]$

Этап 2.4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (1 - 4 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 3]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (1 - 4 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 3]$

Этап 2.6

Умножим $- 4$ на $1$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (1 - 4 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 3]$

Этап 2.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - 4 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 3]$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 - (2 x)) + (1 - 4 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 3]$

Этап 2.9

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 - 2 x) + (1 - 4 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 3]$

Этап 2.10

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 2 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 - 2 x) + (1 - 4 x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.11

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 - 2 x) + (1 - 4 x - x^{2}) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 - 2 x) + (1 - 4 x - x^{2}) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.13

Умножим $2$ на $3$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 - 2 x) + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.14

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 - 2 x) + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 - 2 x) + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.16

Умножим $- 2$ на $1$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 - 2 x) + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2 + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.17

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 - 2 x) + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2 + 0)$

Этап 2.18

Добавим $6 x - 2$ и $0$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 - 2 x) + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $1$ из $(3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 - 2 x) + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $1$ из $(3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 - 2 x)$ .

$1 ((3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 - 2 x)) + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $1$ из $(1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$ .

$1 ((3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 - 2 x)) + 1 ((1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2))$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $1$ из $1 ((3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 - 2 x)) + 1 ((1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2))$ .

$1 ((3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 - 2 x) + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2))$

Этап 3.2

Умножим $(3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 - 2 x) + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$ на $1$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 3) (- 4 - 2 x) + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$

Этап 3.3

Изменим порядок членов.

$(- 4 - 2 x) (3 x^{2} - 2 x + 3) + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$

Этап 3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Развернем $(- 4 - 2 x) (3 x^{2} - 2 x + 3)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$- 4 (3 x^{2}) - 4 (- 2 x) - 4 \cdot 3 - 2 x (3 x^{2}) - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot 3 + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$

Этап 3.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим $3$ на $- 4$ .

$- 12 x^{2} - 4 (- 2 x) - 4 \cdot 3 - 2 x (3 x^{2}) - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot 3 + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$

Этап 3.4.2.2

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$- 12 x^{2} + 8 x - 4 \cdot 3 - 2 x (3 x^{2}) - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot 3 + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$

Этап 3.4.2.3

Умножим $- 4$ на $3$ .

$- 12 x^{2} + 8 x - 12 - 2 x (3 x^{2}) - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot 3 + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$

Этап 3.4.2.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 12 x^{2} + 8 x - 12 - 2 \cdot 3 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot 3 + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$

Этап 3.4.2.5

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- 12 x^{2} + 8 x - 12 - 2 \cdot 3 (x^{2} x) - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot 3 + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$

Этап 3.4.2.5.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 12 x^{2} + 8 x - 12 - 2 \cdot 3 (x^{2} x^{1}) - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot 3 + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$

Этап 3.4.2.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 12 x^{2} + 8 x - 12 - 2 \cdot 3 x^{2 + 1} - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot 3 + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$

Этап 3.4.2.5.3

Добавим $2$ и $1$ .

$- 12 x^{2} + 8 x - 12 - 2 \cdot 3 x^{3} - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot 3 + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$

Этап 3.4.2.6

Умножим $- 2$ на $3$ .

$- 12 x^{2} + 8 x - 12 - 6 x^{3} - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot 3 + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$

Этап 3.4.2.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 12 x^{2} + 8 x - 12 - 6 x^{3} - 2 \cdot - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 3 + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$

Этап 3.4.2.8

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.8.1

Перенесем $x$ .

$- 12 x^{2} + 8 x - 12 - 6 x^{3} - 2 \cdot - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 3 + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$

Этап 3.4.2.8.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- 12 x^{2} + 8 x - 12 - 6 x^{3} - 2 \cdot - 2 x^{2} - 2 x \cdot 3 + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$

Этап 3.4.2.9

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$- 12 x^{2} + 8 x - 12 - 6 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x \cdot 3 + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$

Этап 3.4.2.10

Умножим $3$ на $- 2$ .

$- 12 x^{2} + 8 x - 12 - 6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$

Этап 3.4.3

Добавим $- 12 x^{2}$ и $4 x^{2}$ .

$- 8 x^{2} + 8 x - 12 - 6 x^{3} - 6 x + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$

Этап 3.4.4

Вычтем $6 x$ из $8 x$ .

$- 8 x^{2} + 2 x - 12 - 6 x^{3} + (1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$

Этап 3.4.5

Развернем $(1 - 4 x - x^{2}) (6 x - 2)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$- 8 x^{2} + 2 x - 12 - 6 x^{3} + 1 (6 x) + 1 \cdot - 2 - 4 x (6 x) - 4 x \cdot - 2 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 2$

Этап 3.4.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Умножим $6 x$ на $1$ .

$- 8 x^{2} + 2 x - 12 - 6 x^{3} + 6 x + 1 \cdot - 2 - 4 x (6 x) - 4 x \cdot - 2 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 2$

Этап 3.4.6.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 8 x^{2} + 2 x - 12 - 6 x^{3} + 6 x - 2 - 4 x (6 x) - 4 x \cdot - 2 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 2$

Этап 3.4.6.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 8 x^{2} + 2 x - 12 - 6 x^{3} + 6 x - 2 - 4 \cdot 6 x \cdot x - 4 x \cdot - 2 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 2$

Этап 3.4.6.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.4.1

Перенесем $x$ .

$- 8 x^{2} + 2 x - 12 - 6 x^{3} + 6 x - 2 - 4 \cdot 6 (x \cdot x) - 4 x \cdot - 2 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 2$

Этап 3.4.6.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- 8 x^{2} + 2 x - 12 - 6 x^{3} + 6 x - 2 - 4 \cdot 6 x^{2} - 4 x \cdot - 2 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 2$

Этап 3.4.6.5

Умножим $- 4$ на $6$ .

$- 8 x^{2} + 2 x - 12 - 6 x^{3} + 6 x - 2 - 24 x^{2} - 4 x \cdot - 2 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 2$

Этап 3.4.6.6

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$- 8 x^{2} + 2 x - 12 - 6 x^{3} + 6 x - 2 - 24 x^{2} + 8 x - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 2$

Этап 3.4.6.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 8 x^{2} + 2 x - 12 - 6 x^{3} + 6 x - 2 - 24 x^{2} + 8 x - 1 \cdot 6 x^{2} x - x^{2} \cdot - 2$

Этап 3.4.6.8

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.8.1

Перенесем $x$ .

$- 8 x^{2} + 2 x - 12 - 6 x^{3} + 6 x - 2 - 24 x^{2} + 8 x - 1 \cdot 6 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot - 2$

Этап 3.4.6.8.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.8.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 8 x^{2} + 2 x - 12 - 6 x^{3} + 6 x - 2 - 24 x^{2} + 8 x - 1 \cdot 6 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot - 2$

Этап 3.4.6.8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 8 x^{2} + 2 x - 12 - 6 x^{3} + 6 x - 2 - 24 x^{2} + 8 x - 1 \cdot 6 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot - 2$

Этап 3.4.6.8.3

Добавим $1$ и $2$ .

$- 8 x^{2} + 2 x - 12 - 6 x^{3} + 6 x - 2 - 24 x^{2} + 8 x - 1 \cdot 6 x^{3} - x^{2} \cdot - 2$

Этап 3.4.6.9

Умножим $- 1$ на $6$ .

$- 8 x^{2} + 2 x - 12 - 6 x^{3} + 6 x - 2 - 24 x^{2} + 8 x - 6 x^{3} - x^{2} \cdot - 2$

Этап 3.4.6.10

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$- 8 x^{2} + 2 x - 12 - 6 x^{3} + 6 x - 2 - 24 x^{2} + 8 x - 6 x^{3} + 2 x^{2}$

Этап 3.4.7

Добавим $6 x$ и $8 x$ .

$- 8 x^{2} + 2 x - 12 - 6 x^{3} + 14 x - 2 - 24 x^{2} - 6 x^{3} + 2 x^{2}$

Этап 3.4.8

Добавим $- 24 x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$- 8 x^{2} + 2 x - 12 - 6 x^{3} + 14 x - 2 - 6 x^{3} - 22 x^{2}$

Этап 3.5

Вычтем $22 x^{2}$ из $- 8 x^{2}$ .

$- 30 x^{2} + 2 x - 12 - 6 x^{3} + 14 x - 2 - 6 x^{3}$

Этап 3.6

Добавим $2 x$ и $14 x$ .

$- 30 x^{2} + 16 x - 12 - 6 x^{3} - 2 - 6 x^{3}$

Этап 3.7

Вычтем $2$ из $- 12$ .

$- 30 x^{2} + 16 x - 6 x^{3} - 14 - 6 x^{3}$

Этап 3.8

Вычтем $6 x^{3}$ из $- 6 x^{3}$ .

$- 30 x^{2} + 16 x - 12 x^{3} - 14$