Математический анализ Примеры

$y = {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{4}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = (x - 2 x^{3}) (6 x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $(x - 2 x^{3}) (6 x - 3)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [(x - 2 x^{3}) (6 x - 3)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [(x - 2 x^{3}) (6 x - 3)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $(x - 2 x^{3}) (6 x - 3)$ .

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} \frac{d}{d x} [(x - 2 x^{3}) (6 x - 3)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x - 2 x^{3}$ и $g (x) = 6 x - 3$ .

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} ((x - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [6 x - 3] + (6 x - 3) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{3}])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $6 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} ((x - 2 x^{3}) (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (6 x - 3) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{3}])$

Этап 3.2

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} ((x - 2 x^{3}) (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (6 x - 3) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{3}])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} ((x - 2 x^{3}) (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (6 x - 3) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{3}])$

Этап 3.4

Умножим $6$ на $1$ .

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} ((x - 2 x^{3}) (6 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (6 x - 3) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{3}])$

Этап 3.5

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} ((x - 2 x^{3}) (6 + 0) + (6 x - 3) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{3}])$

Этап 3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Добавим $6$ и $0$ .

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} ((x - 2 x^{3}) \cdot 6 + (6 x - 3) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{3}])$

Этап 3.6.2

Перенесем $6$ влево от $x - 2 x^{3}$ .

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} (6 \cdot (x - 2 x^{3}) + (6 x - 3) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{3}])$

Этап 3.7

По правилу суммы производная $x - 2 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} (6 (x - 2 x^{3}) + (6 x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]))$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} (6 (x - 2 x^{3}) + (6 x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]))$

Этап 3.9

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{3}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} (6 (x - 2 x^{3}) + (6 x - 3) (1 - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]))$

Этап 3.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} (6 (x - 2 x^{3}) + (6 x - 3) (1 - 2 (3 x^{2})))$

Этап 3.11

Умножим $3$ на $- 2$ .

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} (6 (x - 2 x^{3}) + (6 x - 3) (1 - 6 x^{2}))$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило умножения к $(x - 2 x^{3}) (6 x - 3)$ .

$4 ({(x - 2 x^{3})}^{3} {(6 x - 3)}^{3}) (6 (x - 2 x^{3}) + (6 x - 3) (1 - 6 x^{2}))$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 ({(x - 2 x^{3})}^{3} {(6 x - 3)}^{3}) (6 x + 6 (- 2 x^{3}) + (6 x - 3) (1 - 6 x^{2}))$

Этап 4.3

Умножим $- 2$ на $6$ .

$4 {(x - 2 x^{3})}^{3} {(6 x - 3)}^{3} (6 x - 12 x^{3} + (6 x - 3) (1 - 6 x^{2}))$

Этап 4.4

Изменим порядок множителей в $4 {(x - 2 x^{3})}^{3} {(6 x - 3)}^{3} (6 x - 12 x^{3} + (6 x - 3) (1 - 6 x^{2}))$ .

$4 {(6 x - 3)}^{3} {(x - 2 x^{3})}^{3} (6 x - 12 x^{3} + (6 x - 3) (1 - 6 x^{2}))$