Математический анализ Примеры

$y = {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{4}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = \frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x})]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x})]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x})$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x})]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x})$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{1}{x})]$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{1}{x})])$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{1}{x})])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{1}{x})])$

Этап 2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \arcsin (\frac{1}{x})$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{1}{x})]$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} - \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{1}{x})])$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\frac{1}{x}$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} - (\frac{d}{d u_{2}} [\arcsin (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]))$

Этап 3.2

Производная $\arcsin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{2}}^{2}}}$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} - (\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{2}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]))$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\frac{1}{x}$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} - (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]))$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} - \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} - \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} (- x^{- 2}))$

Этап 4.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} + 1 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} x^{- 2})$

Этап 4.3.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}}$ на $1$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} + \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} x^{- 2})$

Этап 4.3.3

Объединим $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}}$ и $x^{- 2}$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} + \frac{x^{- 2}}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}})$

Этап 4.3.4

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- x^{- 2} + \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}} x^{2}})$

Этап 5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}} x^{2}})$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{x}$ .

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{x^{2}}} x^{2}})$

Этап 6.2

Единица в любой степени равна единице.

$4 {(\frac{1}{x} - \arcsin (\frac{1}{x}))}^{3} (- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}} x^{2}})$