Математический анализ Примеры

$y = (5 x^{2} - 7) (3 x^{2} - 2 x + 1)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 5 x^{2} - 7$ и $g (x) = 3 x^{2} - 2 x + 1$ .

$(5 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 1] + (3 x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(5 x^{2} - 7) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7]$

Этап 2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(5 x^{2} - 7) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(5 x^{2} - 7) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7]$

Этап 2.4

Умножим $2$ на $3$ .

$(5 x^{2} - 7) (6 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7]$

Этап 2.5

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x^{2} - 7) (6 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7]$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(5 x^{2} - 7) (6 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7]$

Этап 2.7

Умножим $- 2$ на $1$ .

$(5 x^{2} - 7) (6 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7]$

Этап 2.8

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(5 x^{2} - 7) (6 x - 2 + 0) + (3 x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7]$

Этап 2.9

Добавим $6 x - 2$ и $0$ .

$(5 x^{2} - 7) (6 x - 2) + (3 x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7]$

Этап 2.10

По правилу суммы производная $5 x^{2} - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$(5 x^{2} - 7) (6 x - 2) + (3 x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 2.11

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(5 x^{2} - 7) (6 x - 2) + (3 x^{2} - 2 x + 1) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 2.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(5 x^{2} - 7) (6 x - 2) + (3 x^{2} - 2 x + 1) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 2.13

Умножим $2$ на $5$ .

$(5 x^{2} - 7) (6 x - 2) + (3 x^{2} - 2 x + 1) (10 x + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 2.14

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$(5 x^{2} - 7) (6 x - 2) + (3 x^{2} - 2 x + 1) (10 x + 0)$

Этап 2.15

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1

Добавим $10 x$ и $0$ .

$(5 x^{2} - 7) (6 x - 2) + (3 x^{2} - 2 x + 1) (10 x)$

Этап 2.15.2

Перенесем $10$ влево от $3 x^{2} - 2 x + 1$ .

$(5 x^{2} - 7) (6 x - 2) + 10 \cdot (3 x^{2} - 2 x + 1) x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1