Математический анализ Примеры

$\tan (x) (4 \sin (x) + 5 \cos (x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \tan (x)$ и $g (x) = 4 \sin (x) + 5 \cos (x)$ .

$\tan (x) \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 5 \cos (x)] + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 \sin (x) + 5 \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$ .

$\tan (x) (\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \sin (x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\tan (x) (4 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\tan (x) (4 \cos (x) + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 \cos (x)$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\tan (x) (4 \cos (x) + 5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 5

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\tan (x) (4 \cos (x) + 5 (- \sin (x))) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 6

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\tan (x) (4 \cos (x) - 5 \sin (x)) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 7

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\tan (x) (4 \cos (x) - 5 \sin (x)) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \sec^{2} (x)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\tan (x) (4 \cos (x)) + \tan (x) (- 5 \sin (x)) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \sec^{2} (x)$

Этап 8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\tan (x) (4 \cos (x)) + \tan (x) (- 5 \sin (x)) + 4 \sin (x) \sec^{2} (x) + 5 \cos (x) \sec^{2} (x)$

Этап 8.3

Перенесем $4$ влево от $\tan (x)$ .

$4 \tan (x) \cos (x) + \tan (x) (- 5 \sin (x)) + 4 \sin (x) \sec^{2} (x) + 5 \cos (x) \sec^{2} (x)$

Этап 8.4

Изменим порядок членов.

$4 \cos (x) \tan (x) - 5 \sin (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 8.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1.1

Добавим круглые скобки.

$4 (\cos (x) \tan (x)) - 5 \sin (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 8.5.1.2

Изменим порядок $\cos (x)$ и $\tan (x)$ .

$4 (\tan (x) \cos (x)) - 5 \sin (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 8.5.1.3

Выразим $4 \cos (x) \tan (x)$ через синусы и косинусы.

$4 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)) - 5 \sin (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 8.5.1.4

Сократим общие множители.

$4 \sin (x) - 5 \sin (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 8.5.2

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$4 \sin (x) - 5 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 8.5.3

Умножим $- 5 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.3.1

Объединим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ и $- 5$ .

$4 \sin (x) + \frac{\sin (x) \cdot - 5}{\cos (x)} \sin (x) + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 8.5.3.2

Объединим $\frac{\sin (x) \cdot - 5}{\cos (x)}$ и $\sin (x)$ .

$4 \sin (x) + \frac{\sin (x) \cdot - 5 \sin (x)}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 8.5.3.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$4 \sin (x) + \frac{- 5 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 8.5.3.4

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$4 \sin (x) + \frac{- 5 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 8.5.3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 \sin (x) + \frac{- 5 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 8.5.3.6

Добавим $1$ и $1$ .

$4 \sin (x) + \frac{- 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 8.5.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 8.5.5

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 4 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 8.5.6

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 4 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 8.5.7

Единица в любой степени равна единице.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 4 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 8.5.8

Объединим $4$ и $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 8.5.9

Объединим $\frac{4}{\cos^{2} (x)}$ и $\sin (x)$ .

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 8.5.10

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 5 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x)$

Этап 8.5.11

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 5 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x)$

Этап 8.5.12

Единица в любой степени равна единице.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 5 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos (x)$

Этап 8.5.13

Объединим $5$ и $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{5}{\cos^{2} (x)} \cos (x)$

Этап 8.5.14

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.14.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{5}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

Этап 8.5.14.2

Сократим общий множитель.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{5}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

Этап 8.5.14.3

Перепишем это выражение.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{5}{\cos (x)}$

Этап 8.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \sin (x) + \frac{- 5 \sin^{2} (x) + 5}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 8.7

Изменим порядок $- 5 \sin^{2} (x)$ и $5$ .

$4 \sin (x) + \frac{5 - 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 8.8

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$4 \sin (x) + \frac{5 (1) - 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 8.9

Вынесем множитель $5$ из $- 5 \sin^{2} (x)$ .

$4 \sin (x) + \frac{5 (1) + 5 (- \sin^{2} (x))}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 8.10

Вынесем множитель $5$ из $5 (1) + 5 (- \sin^{2} (x))$ .

$4 \sin (x) + \frac{5 (1 - \sin^{2} (x))}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 8.11

Применим формулу Пифагора.

$4 \sin (x) + \frac{5 \cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 8.12

Сократим общий множитель $\cos^{2} (x)$ и $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.12.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $5 \cos^{2} (x)$ .

$4 \sin (x) + \frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 8.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.12.2.1

Умножим на $1$ .

$4 \sin (x) + \frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 8.12.2.2

Сократим общий множитель.

$4 \sin (x) + \frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 8.12.2.3

Перепишем это выражение.

$4 \sin (x) + \frac{5 \cos (x)}{1} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 8.12.2.4

Разделим $5 \cos (x)$ на $1$ .

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 8.13

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.13.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Этап 8.13.2

Разделим дроби.

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + \frac{4}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 8.13.3

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + \frac{4}{\cos (x)} \tan (x)$

Этап 8.13.4

Разделим дроби.

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + \frac{4}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)$

Этап 8.13.5

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + \frac{4}{1} \sec (x) \tan (x)$

Этап 8.13.6

Разделим $4$ на $1$ .

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + 4 \sec (x) \tan (x)$