Математический анализ Примеры

$x {(9 - x)}^{2}$

Этап 1

Перепишем ${(9 - x)}^{2}$ в виде $(9 - x) (9 - x)$ .

$\frac{d}{d x} [x ((9 - x) (9 - x))]$

Этап 2

Развернем $(9 - x) (9 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x (9 (9 - x) - x (9 - x))]$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x (9 \cdot 9 + 9 (- x) - x (9 - x))]$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x (9 \cdot 9 + 9 (- x) - x \cdot 9 - x (- x))]$

Этап 3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $9$ на $9$ .

$\frac{d}{d x} [x (81 + 9 (- x) - x \cdot 9 - x (- x))]$

Этап 3.1.2

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{d}{d x} [x (81 - 9 x - x \cdot 9 - x (- x))]$

Этап 3.1.3

Умножим $9$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x (81 - 9 x - 9 x - x (- x))]$

Этап 3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d}{d x} [x (81 - 9 x - 9 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x)]$

Этап 3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (81 - 9 x - 9 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x))]$

Этап 3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (81 - 9 x - 9 x - 1 \cdot - 1 x^{2})]$

Этап 3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x (81 - 9 x - 9 x + 1 x^{2})]$

Этап 3.1.7

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [x (81 - 9 x - 9 x + x^{2})]$

Этап 3.2

Вычтем $9 x$ из $- 9 x$ .

$\frac{d}{d x} [x (81 - 18 x + x^{2})]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 81 - 18 x + x^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [81 - 18 x + x^{2}] + (81 - 18 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

По правилу суммы производная $81 - 18 x + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (81 - 18 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.2

Поскольку $81$ является константой относительно $x$ , производная $81$ относительно $x$ равна $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (81 - 18 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

$x (\frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (81 - 18 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.4

Поскольку $- 18$ является константой относительно $x$ , производная $- 18 x$ по $x$ равна $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (- 18 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (81 - 18 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (- 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (81 - 18 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.6

Умножим $- 18$ на $1$ .

$x (- 18 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (81 - 18 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x (- 18 + 2 x) + (81 - 18 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (- 18 + 2 x) + (81 - 18 x + x^{2}) \cdot 1$

Этап 5.9

Умножим $81 - 18 x + x^{2}$ на $1$ .

$x (- 18 + 2 x) + 81 - 18 x + x^{2}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot - 18 + x (2 x) + 81 - 18 x + x^{2}$

Этап 6.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перенесем $- 18$ влево от $x$ .

$- 18 \cdot x + x (2 x) + 81 - 18 x + x^{2}$

Этап 6.2.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 18 x + 2 (x^{1} x) + 81 - 18 x + x^{2}$

Этап 6.2.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 18 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 81 - 18 x + x^{2}$

Этап 6.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 18 x + 2 x^{1 + 1} + 81 - 18 x + x^{2}$

Этап 6.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- 18 x + 2 x^{2} + 81 - 18 x + x^{2}$

Этап 6.2.6

Вычтем $18 x$ из $- 18 x$ .

$- 36 x + 2 x^{2} + 81 + x^{2}$

Этап 6.2.7

Добавим $2 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$- 36 x + 3 x^{2} + 81$

Этап 6.3

Изменим порядок членов.

$3 x^{2} - 36 x + 81$