Математический анализ Примеры

$x {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 16 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $16 - x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $16 - x^{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$x (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.3

Перенесем ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.4

Объединим $\frac{1}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}] + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8

По правилу суммы производная $16 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 9

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 10

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 13

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 13.2

Объединим $- 2$ и $\frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 13.3

Объединим $\frac{- 2 x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{- 2 x \cdot x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 14

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 15

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 16

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 17

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 18

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{2})}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 19

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x^{2})}{2 ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 19.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- x^{2})}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 19.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 20

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 21

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Этап 22

Умножим ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$- \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 23

Чтобы записать ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 24

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 25

Умножим ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 25.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 25.3

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 25.4

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{1}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 26

Упростим ${(16 - x^{2})}^{1}$ .

$\frac{- x^{2} + 16 - x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 27

Вычтем $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 28

Изменим порядок членов.

$\frac{- 2 x^{2} + 16}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$