Математический анализ Примеры

$x \cdot \sqrt{8 x - x^{2}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{8 x - x^{2}}$ в виде ${(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 8 x - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $8 x - x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $8 x - x^{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$x (\frac{1}{2} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(8 x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x (\frac{1}{2} {(8 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(8 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(8 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8.3

Перенесем ${(8 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8.4

Объединим $\frac{1}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x - x^{2}] + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 9

По правилу суммы производная $8 x - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 10

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 12

Умножим $8$ на $1$ .

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 13

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 - (2 x)) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 15

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 - 2 x) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 16

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 - 2 x) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Этап 17

Умножим ${(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 - 2 x) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Изменим порядок членов.

$(8 - 2 x) \frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 18.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Умножим $8 - 2 x$ на $\frac{x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(8 - 2 x) x}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 18.2.2

Вынесем множитель $2$ из $(8 - 2 x) x$ .

$\frac{2 ((4 - x) x)}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 18.2.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 ((4 - x) x)}{2 ({(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 18.2.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 ((4 - x) x)}{2 {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 18.2.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(4 - x) x}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 18.3

Чтобы записать ${(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(4 - x) x}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(4 - x) x + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x - x \cdot x + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.5.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.5.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 x - (x \cdot x) + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.5.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{4 x - x^{2} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.5.3

Умножим ${(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на ${(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.5.3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 x - x^{2} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.5.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 x - x^{2} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.5.3.3

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{4 x - x^{2} + {(8 x - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.5.3.4

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{4 x - x^{2} + {(8 x - x^{2})}^{1}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.5.4

Упростим ${(8 x - x^{2})}^{1}$ .

$\frac{4 x - x^{2} + 8 x - x^{2}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.5.5

Добавим $4 x$ и $8 x$ .

$\frac{- x^{2} + 12 x - x^{2}}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.5.6

Вычтем $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 12 x}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.5.7

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x^{2} + 12 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.5.7.1

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 x (- x) + 12 x}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.5.7.2

Вынесем множитель $2 x$ из $12 x$ .

$\frac{2 x (- x) + 2 x (6)}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.5.7.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (- x) + 2 x (6)$ .

$\frac{2 x (- x + 6)}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{2 x (- (x) + 6)}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.7

Перепишем $6$ в виде $- 1 (- 6)$ .

$\frac{2 x (- (x) - 1 (- 6))}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 6)$ .

$\frac{2 x (- (x - 6))}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.9

Перепишем $- (x - 6)$ в виде $- 1 (x - 6)$ .

$\frac{2 x (- 1 (x - 6))}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(2 x) (x - 6)}{{(8 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$