Математический анализ Примеры

$\ln (2 x^{0.5})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 2 x^{0.5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x^{0.5}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{0.5}]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x^{0.5}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x^{0.5}$ .

$\frac{1}{2 x^{0.5}} \frac{d}{d x} [2 x^{0.5}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{0.5}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{0.5}]$ .

$\frac{1}{2 x^{0.5}} (2 \frac{d}{d x} [x^{0.5}])$

Этап 2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2 x^{0.5}}$ .

$\frac{2}{2 x^{0.5}} \frac{d}{d x} [x^{0.5}]$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2 x^{0.5}} \frac{d}{d x} [x^{0.5}]$

Этап 2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x^{0.5}} \frac{d}{d x} [x^{0.5}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 0.5$ .

$\frac{1}{x^{0.5}} (0.5 x^{- 0.5})$

Этап 2.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Объединим $0.5$ и $\frac{1}{x^{0.5}}$ .

$\frac{0.5}{x^{0.5}} x^{- 0.5}$

Этап 2.4.2

Объединим $\frac{0.5}{x^{0.5}}$ и $x^{- 0.5}$ .

$\frac{0.5 x^{- 0.5}}{x^{0.5}}$

Этап 2.4.3

Перенесем $x^{- 0.5}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0.5}{x^{0.5} x^{0.5}}$

Этап 3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $x^{0.5}$ на $x^{0.5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{0.5}{x^{0.5 + 0.5}}$

Этап 3.1.2

Добавим $0.5$ и $0.5$ .

$\frac{0.5}{x^{1}}$

Этап 3.2

Упростим $x^{1}$ .

$\frac{0.5}{x}$