Математический анализ Примеры

$\ln (\csc (5 x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \csc (5 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\csc (5 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\csc (5 x)$ .

$\frac{1}{\csc (5 x)} \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

Этап 2

Выразим $\csc (5 x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (5 x)}} \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

Этап 3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\sin (5 x)}$ .

$1 \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

Этап 4

Умножим $\sin (5 x)$ на $1$ .

$\sin (5 x) \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $5 x$ .

$\sin (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 5.2

Производная $\csc (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$\sin (5 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $5 x$ .

$\sin (5 x) (- \csc (5 x) \cot (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (5 x) (- \csc (5 x) \cot (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 6.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\sin (5 x) (- 5 \csc (5 x) \cot (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 6.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\sin (5 x) (- 5 \csc (5 x) \cot (5 x) \cdot 1)$

Этап 6.4

Умножим $- 5$ на $1$ .

$\sin (5 x) (- 5 \csc (5 x) \cot (5 x))$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Изменим порядок множителей в $\sin (5 x) (- 5 \csc (5 x) \cot (5 x))$ .

$- 5 \cot (5 x) \csc (5 x) \sin (5 x)$

Этап 7.2

Выразим $\cot (5 x)$ через синусы и косинусы.

$- 5 \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)} \csc (5 x) \sin (5 x)$

Этап 7.3

Объединим $- 5$ и $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ .

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)} \csc (5 x) \sin (5 x)$

Этап 7.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)} \csc (5 x) \sin (5 x)$

Этап 7.5

Выразим $\csc (5 x)$ через синусы и косинусы.

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)} \cdot \frac{1}{\sin (5 x)} \sin (5 x)$

Этап 7.6

Умножим $- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)} \cdot \frac{1}{\sin (5 x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Умножим $\frac{1}{\sin (5 x)}$ на $\frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ .

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x) \sin (5 x)} \sin (5 x)$

Этап 7.6.2

Возведем $\sin (5 x)$ в степень $1$ .

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin^{1} (5 x) \sin (5 x)} \sin (5 x)$

Этап 7.6.3

Возведем $\sin (5 x)$ в степень $1$ .

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin^{1} (5 x) \sin^{1} (5 x)} \sin (5 x)$

Этап 7.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{5 \cos (5 x)}{{\sin (5 x)}^{1 + 1}} \sin (5 x)$

Этап 7.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)} \sin (5 x)$

Этап 7.7

Сократим общий множитель $\sin (5 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)}$ в числитель.

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)} \sin (5 x)$

Этап 7.7.2

Вынесем множитель $\sin (5 x)$ из $\sin^{2} (5 x)$ .

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin (5 x) \sin (5 x)} \sin (5 x)$

Этап 7.7.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin (5 x) \sin (5 x)} \sin (5 x)$

Этап 7.7.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Этап 7.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Этап 7.9

Разделим дроби.

$- (\frac{5}{1} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)})$

Этап 7.10

Переведем $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ в $\cot (5 x)$ .

$- (\frac{5}{1} \cot (5 x))$

Этап 7.11

Разделим $5$ на $1$ .

$- (5 \cot (5 x))$

Этап 7.12

Умножим $5$ на $- 1$ .

$- 5 \cot (5 x)$