Математический анализ Примеры

$\ln (\sin (x)) - \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)$

Этап 1

По правилу суммы производная $\ln (\sin (x)) - \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$

Этап 2.1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$

Этап 2.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$

Этап 2.3

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$\csc (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- \frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)$ по $x$ равна $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$\csc (x) \cos (x) - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\sin (x)$ .

$\csc (x) \cos (x) - \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\csc (x) \cos (x) - \frac{1}{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sin (x)$ .

$\csc (x) \cos (x) - \frac{1}{2} (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\csc (x) \cos (x) - \frac{1}{2} (2 \sin (x) \cos (x))$

Этап 3.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\csc (x) \cos (x) - 2 (\frac{1}{2}) (\sin (x) \cos (x))$

Этап 3.5

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\csc (x) \cos (x) + \frac{- 2}{2} (\sin (x) \cos (x))$

Этап 3.6

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{- 2}{2}$ .

$\csc (x) \cos (x) + \frac{\sin (x) \cdot - 2}{2} \cos (x)$

Этап 3.7

Объединим $\frac{\sin (x) \cdot - 2}{2}$ и $\cos (x)$ .

$\csc (x) \cos (x) + \frac{\sin (x) \cdot - 2 \cos (x)}{2}$

Этап 3.8

Перенесем $- 2$ влево от $\sin (x)$ .

$\csc (x) \cos (x) + \frac{- 2 \cdot \sin (x) \cos (x)}{2}$

Этап 3.9

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\csc (x) \cos (x) + \frac{2 (- \sin (x) \cos (x))}{2}$

Этап 3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\csc (x) \cos (x) + \frac{2 (- \sin (x) \cos (x))}{2 (1)}$

Этап 3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\csc (x) \cos (x) + \frac{2 (- \sin (x) \cos (x))}{2 \cdot 1}$

Этап 3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\csc (x) \cos (x) + \frac{- \sin (x) \cos (x)}{1}$

Этап 3.9.2.4

Разделим $- \sin (x) \cos (x)$ на $1$ .

$\csc (x) \cos (x) - \sin (x) \cos (x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок членов.

$\cos (x) \csc (x) - \cos (x) \sin (x)$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\cos (x) \frac{1}{\sin (x)} - \cos (x) \sin (x)$

Этап 4.2.2

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x) \sin (x)$

Этап 4.3

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$\cot (x) - \cos (x) \sin (x)$