Математический анализ Примеры

$r (x) = 1000 \sqrt{x^{2} - 0.3 x}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} - 0.3 x}$ в виде ${(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [1000 {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.2

Поскольку $1000$ является константой относительно $x$ , производная $1000 {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $1000 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$1000 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x^{2} - 0.3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 0.3 x$ .

$1000 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$1000 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 0.3 x$ .

$1000 (\frac{1}{2} {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x])$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$1000 (\frac{1}{2} {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x])$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$1000 (\frac{1}{2} {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x])$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$1000 (\frac{1}{2} {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x])$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$1000 (\frac{1}{2} {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x])$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$1000 (\frac{1}{2} {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x])$

Этап 7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1000 (\frac{1}{2} {(x^{2} - 0.3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x])$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} - 0.3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1000 (\frac{{(x^{2} - 0.3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x])$

Этап 9

Перенесем ${(x^{2} - 0.3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1000 (\frac{1}{2 {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x])$

Этап 10

Объединим $\frac{1}{2 {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ и $1000$ .

$\frac{1000}{2 {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x]$

Этап 11

Вынесем множитель $2$ из $1000$ .

$\frac{2 \cdot 500}{2 {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x]$

Этап 12

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 500}{2 ({(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x]$

Этап 12.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 500}{2 {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x]$

Этап 12.3

Перепишем это выражение.

$\frac{500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x]$

Этап 13

По правилу суммы производная $x^{2} - 0.3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 0.3 x]$ .

$\frac{500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 0.3 x])$

Этап 14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 0.3 x])$

Этап 15

Поскольку $- 0.3$ является константой относительно $x$ , производная $- 0.3 x$ по $x$ равна $- 0.3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 0.3 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 16

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 0.3 \cdot 1)$

Этап 17

Умножим $- 0.3$ на $1$ .

$\frac{500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 0.3)$

Этап 18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Изменим порядок множителей в $\frac{500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 0.3)$ .

$(2 x - 0.3) \frac{500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.2

Умножим $2 x - 0.3$ на $\frac{500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(2 x - 0.3) \cdot 500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.1

Вынесем множитель $0.1$ из $2 x - 0.3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.1.1

Вынесем множитель $0.1$ из $2 x$ .

$\frac{(0.1 (20 x) - 0.3) \cdot 500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.3.1.2

Вынесем множитель $0.1$ из $- 0.3$ .

$\frac{(0.1 (20 x) + 0.1 (- 3)) \cdot 500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.3.1.3

Вынесем множитель $0.1$ из $0.1 (20 x) + 0.1 (- 3)$ .

$\frac{0.1 (20 x - 3) \cdot 500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.3.2

Умножим $500$ на $0.1$ .

$\frac{50 (20 x - 3)}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}}$