Математический анализ Примеры

$\sec (2 x) \tan (2 x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sec (2 x)$ и $g (x) = \tan (2 x)$ .

$\sec (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \tan (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$\sec (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Этап 2.2

Производная $\tan (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec (2 x) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$\sec (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Этап 3

Возведем $\sec (2 x)$ в степень $1$ .

$\sec^{2} (2 x) \sec^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Этап 4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\sec (2 x)}^{2 + 1} \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $2$ и $1$ .

$\sec^{3} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Этап 5.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{3} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Этап 5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\sec^{3} (2 x) (2 \cdot 1) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Этап 5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\sec^{3} (2 x) \cdot 2 + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Этап 5.4.2

Перенесем $2$ влево от $\sec^{3} (2 x)$ .

$2 \cdot \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Этап 6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 6.2

Производная $\sec (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 6.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 7

Возведем $\tan (2 x)$ в степень $1$ .

$2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{1} (2 x) \tan (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 8

Возведем $\tan (2 x)$ в степень $1$ .

$2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \sec^{3} (2 x) + {\tan (2 x)}^{1 + 1} (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 10

Добавим $1$ и $1$ .

$2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 11

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) (2 \cdot 1)$

Этап 13

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $2$ на $1$ .

$2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) \cdot 2$

Этап 13.2

Перенесем $2$ влево от $\tan^{2} (2 x) \sec (2 x)$ .

$2 \sec^{3} (2 x) + 2 \cdot (\tan^{2} (2 x) \sec (2 x))$

Этап 13.3

Изменим порядок членов.

$2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) + 2 \sec^{3} (2 x)$