Математический анализ Примеры

$\sin (\arctan (x))$

Этап 1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(1, x)$ , $(1, 0)$ и начале координат. Тогда $\arctan (x)$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(1, x)$ . Следовательно, $\sin (\arctan (x))$ равно $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}]$

Этап 1.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + x^{2}}$ в виде ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3

Перемножим экспоненты в ${({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{2})}^{1}}$

Этап 4

Упростим.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2}}$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2}}$

Этап 5.2

Умножим ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + x^{2}}$

Этап 6

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 + x^{2}$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Этап 6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Этап 6.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + x^{2}$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Этап 7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Этап 8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Этап 9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Этап 10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Этап 10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Этап 11

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Этап 11.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Этап 11.3

Перенесем ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Этап 11.4

Объединим $\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{1 + x^{2}}$

Этап 12

По правилу суммы производная $1 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Этап 13

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{1 + x^{2}}$

Этап 14

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{1 + x^{2}}$

Этап 15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{1 + x^{2}}$

Этап 16

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x}{1 + x^{2}}$

Этап 16.2

Объединим $- 2$ и $\frac{x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x}{1 + x^{2}}$

Этап 16.3

Объединим $\frac{- 2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Этап 17

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Этап 18

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Этап 19

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Этап 20

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Этап 21

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2}$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Этап 22

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}}{1 + x^{2}}$

Этап 22.2

Сократим общий множитель.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Этап 22.3

Перепишем это выражение.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Этап 23

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Этап 24

Чтобы записать ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Этап 25

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Этап 26

Умножим ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Этап 26.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Этап 26.3

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Этап 26.4

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{\frac{{(1 + x^{2})}^{1} - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Этап 27

Упростим ${(1 + x^{2})}^{1}$ .

$\frac{\frac{1 + x^{2} - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Этап 28

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{\frac{1 + 0}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Этап 29

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$

Этап 30

Перепишем $\frac{\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + x^{2}}$ в виде произведения.

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}$

Этап 31

Умножим $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})}$

Этап 32

Умножим ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на $1 + x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 32.1

Умножим ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на $1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 32.1.1

Возведем $1 + x^{2}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{1}}$

Этап 32.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Этап 32.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Этап 32.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Этап 32.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 33

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$