Математический анализ Примеры

$f (x) = | x^{2} - 25 |$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = | x |$ и $g (x) = x^{2} - 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 25$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Этап 1.2

Производная $| u |$ по $u$ равна $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 25$ .

$\frac{x^{2} - 25}{| x^{2} - 25 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$\frac{x^{2} - 25}{| x^{2} - 25 |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 25}{| x^{2} - 25 |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 25])$

Этап 2.3

Поскольку $- 25$ является константой относительно $x$ , производная $- 25$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{2} - 25}{| x^{2} - 25 |} (2 x + 0)$

Этап 2.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{x^{2} - 25}{| x^{2} - 25 |} (2 x)$

Этап 2.4.2

Объединим $2$ и $\frac{x^{2} - 25}{| x^{2} - 25 |}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 25)}{| x^{2} - 25 |} x$

Этап 2.4.3

Объединим $\frac{2 (x^{2} - 25)}{| x^{2} - 25 |}$ и $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 25) x}{| x^{2} - 25 |}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 25) x}{| x^{2} - 25 |}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 25 x}{| x^{2} - 25 |}$

Этап 3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 25 x}{| x^{2} - 25 |}$

Этап 3.3.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 25 x}{| x^{2} - 25 |}$

Этап 3.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 25 x}{| x^{2} - 25 |}$

Этап 3.3.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 25 x}{| x^{2} - 25 |}$

Этап 3.3.2

Умножим $2$ на $- 25$ .

$\frac{2 x^{3} - 50 x}{| x^{2} - 25 |}$