Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{12 x^{2} - 1 x + 2}{3 x + 2}$

Этап 1

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{12 x^{2} - x + 2}{3 x + 2}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 12 x^{2} - x + 2$ и $g (x) = 3 x + 2$ .

$\frac{(3 x + 2) \frac{d}{d x} [12 x^{2} - x + 2] - (12 x^{2} - x + 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $12 x^{2} - x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(3 x + 2) (\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]) - (12 x^{2} - x + 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.2

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{2}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(3 x + 2) (12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]) - (12 x^{2} - x + 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(3 x + 2) (12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]) - (12 x^{2} - x + 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.4

Умножим $2$ на $12$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]) - (12 x^{2} - x + 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (12 x^{2} - x + 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) - (12 x^{2} - x + 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1 + \frac{d}{d x} [2]) - (12 x^{2} - x + 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.8

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1 + 0) - (12 x^{2} - x + 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.9

Добавим $24 x - 1$ и $0$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1) - (12 x^{2} - x + 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.10

По правилу суммы производная $3 x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1) - (12 x^{2} - x + 2) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.11

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1) - (12 x^{2} - x + 2) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1) - (12 x^{2} - x + 2) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.13

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1) - (12 x^{2} - x + 2) (3 + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.14

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1) - (12 x^{2} - x + 2) (3 + 0)}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.15

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.1

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1) - (12 x^{2} - x + 2) \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.15.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1) - 3 (12 x^{2} - x + 2)}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(3 x + 2) (24 x - 1) - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Развернем $(3 x + 2) (24 x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x (24 x - 1) + 2 (24 x - 1) - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 4.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x (24 x) + 3 x \cdot - 1 + 2 (24 x - 1) - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x (24 x) + 3 x \cdot - 1 + 2 (24 x) + 2 \cdot - 1 - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 4.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3 \cdot 24 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + 2 (24 x) + 2 \cdot - 1 - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 4.2.1.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{3 \cdot 24 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 + 2 (24 x) + 2 \cdot - 1 - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 4.2.1.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{3 \cdot 24 x^{2} + 3 x \cdot - 1 + 2 (24 x) + 2 \cdot - 1 - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 4.2.1.2.1.3

Умножим $3$ на $24$ .

$\frac{72 x^{2} + 3 x \cdot - 1 + 2 (24 x) + 2 \cdot - 1 - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 4.2.1.2.1.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{72 x^{2} - 3 x + 2 (24 x) + 2 \cdot - 1 - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 4.2.1.2.1.5

Умножим $24$ на $2$ .

$\frac{72 x^{2} - 3 x + 48 x + 2 \cdot - 1 - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 4.2.1.2.1.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{72 x^{2} - 3 x + 48 x - 2 - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 4.2.1.2.2

Добавим $- 3 x$ и $48 x$ .

$\frac{72 x^{2} + 45 x - 2 - 3 (12 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 4.2.1.3

Умножим $12$ на $- 3$ .

$\frac{72 x^{2} + 45 x - 2 - 36 x^{2} - 3 (- x) - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$\frac{72 x^{2} + 45 x - 2 - 36 x^{2} + 3 x - 3 \cdot 2}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 4.2.1.5

Умножим $- 3$ на $2$ .

$\frac{72 x^{2} + 45 x - 2 - 36 x^{2} + 3 x - 6}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 4.2.2

Вычтем $36 x^{2}$ из $72 x^{2}$ .

$\frac{36 x^{2} + 45 x - 2 + 3 x - 6}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 4.2.3

Добавим $45 x$ и $3 x$ .

$\frac{36 x^{2} + 48 x - 2 - 6}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 4.2.4

Вычтем $6$ из $- 2$ .

$\frac{36 x^{2} + 48 x - 8}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 4.3

Вынесем множитель $4$ из $36 x^{2} + 48 x - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $4$ из $36 x^{2}$ .

$\frac{4 (9 x^{2}) + 48 x - 8}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $4$ из $48 x$ .

$\frac{4 (9 x^{2}) + 4 (12 x) - 8}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель $4$ из $- 8$ .

$\frac{4 (9 x^{2}) + 4 (12 x) + 4 (- 2)}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 4.3.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (9 x^{2}) + 4 (12 x)$ .

$\frac{4 (9 x^{2} + 12 x) + 4 (- 2)}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 4.3.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (9 x^{2} + 12 x) + 4 (- 2)$ .

$\frac{4 (9 x^{2} + 12 x - 2)}{{(3 x + 2)}^{2}}$