Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{8} x^{2} \cdot (4 \sqrt{x})$

Этап 1

Объединим $\frac{1}{8}$ и $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{8} \cdot (4 \sqrt{x})]$

Этап 2

Объединим $4$ и $\frac{x^{2}}{8}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{2}}{8} \cdot \sqrt{x}]$

Этап 3

Объединим $\frac{4 x^{2}}{8}$ и $\sqrt{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{2} \sqrt{x}}{8}]$

Этап 4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{2} x^{\frac{1}{2}}}{8}]$

Этап 5

Умножим $x^{2}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (x^{\frac{1}{2}} x^{2})}{8}]$

Этап 5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{2} + 2}}{8}]$

Этап 5.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}{8}]$

Этап 5.4

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}{8}]$

Этап 5.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1 + 2 \cdot 2}{2}}}{8}]$

Этап 5.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1 + 4}{2}}}{8}]$

Этап 5.6.2

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{8}]$

Этап 6

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (x^{\frac{5}{2}})}{8}]$

Этап 7

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{4 \cdot 2}]$

Этап 7.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{4 \cdot 2}]$

Этап 7.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{5}{2}}}{2}]$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{\frac{5}{2}}}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

Этап 9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

Этап 10

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 11

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

Этап 13.2

Вычтем $2$ из $5$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

Этап 14

Объединим $\frac{5}{2}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Этап 15

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2}$

Этап 16

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{4}$