Математический анализ Примеры

$f (x) = (7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \ln (x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x]$

Этап 2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d x} [7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x])$

Этап 3.2

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x^{4}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (7 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (7 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x])$

Этап 3.4

Умножим $4$ на $7$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x])$

Этап 3.5

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{3}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x])$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x])$

Этап 3.7

Умножим $3$ на $- 5$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x])$

Этап 3.8

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3} - 15 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3} - 15 x^{2} + 6 \cdot 1)$

Этап 3.10

Умножим $6$ на $1$ .

$(7 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3} - 15 x^{2} + 6)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x^{4} \frac{1}{x} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3} - 15 x^{2} + 6)$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x^{4} \frac{1}{x} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Этап 4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Объединим $7$ и $\frac{1}{x}$ .

$x^{4} \frac{7}{x} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Этап 4.3.2

Объединим $x^{4}$ и $\frac{7}{x}$ .

$\frac{x^{4} \cdot 7}{x} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Этап 4.3.3

Перенесем $7$ влево от $x^{4}$ .

$\frac{7 \cdot x^{4}}{x} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $x^{4}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вынесем множитель $x$ из $7 x^{4}$ .

$\frac{x (7 x^{3})}{x} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Этап 4.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x (7 x^{3})}{x^{1}} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Этап 4.3.4.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{x (7 x^{3})}{x \cdot 1} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Этап 4.3.4.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{x (7 x^{3})}{x \cdot 1} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Этап 4.3.4.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{7 x^{3}}{1} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Этап 4.3.4.2.5

Разделим $7 x^{3}$ на $1$ .

$7 x^{3} - 5 x^{3} \frac{1}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Этап 4.3.5

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{x}$ .

$7 x^{3} + x^{3} \frac{- 5}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Этап 4.3.6

Объединим $x^{3}$ и $\frac{- 5}{x}$ .

$7 x^{3} + \frac{x^{3} \cdot - 5}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Этап 4.3.7

Перенесем $- 5$ влево от $x^{3}$ .

$7 x^{3} + \frac{- 5 \cdot x^{3}}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Этап 4.3.8

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.1

Вынесем множитель $x$ из $- 5 x^{3}$ .

$7 x^{3} + \frac{x (- 5 x^{2})}{x} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Этап 4.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$7 x^{3} + \frac{x (- 5 x^{2})}{x^{1}} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Этап 4.3.8.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$7 x^{3} + \frac{x (- 5 x^{2})}{x \cdot 1} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Этап 4.3.8.2.3

Сократим общий множитель.

$7 x^{3} + \frac{x (- 5 x^{2})}{x \cdot 1} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Этап 4.3.8.2.4

Перепишем это выражение.

$7 x^{3} + \frac{- 5 x^{2}}{1} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Этап 4.3.8.2.5

Разделим $- 5 x^{2}$ на $1$ .

$7 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x \frac{1}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Этап 4.3.9

Объединим $6$ и $\frac{1}{x}$ .

$7 x^{3} - 5 x^{2} + x \frac{6}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Этап 4.3.10

Объединим $x$ и $\frac{6}{x}$ .

$7 x^{3} - 5 x^{2} + \frac{x \cdot 6}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Этап 4.3.11

Перенесем $6$ влево от $x$ .

$7 x^{3} - 5 x^{2} + \frac{6 \cdot x}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Этап 4.3.12

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.12.1

Сократим общий множитель.

$7 x^{3} - 5 x^{2} + \frac{6 x}{x} + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Этап 4.3.12.2

Разделим $6$ на $1$ .

$7 x^{3} - 5 x^{2} + 6 + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + \ln (x) \cdot 6$

Этап 4.3.13

Перенесем $6$ влево от $\ln (x)$ .

$7 x^{3} - 5 x^{2} + 6 + \ln (x) (28 x^{3}) + \ln (x) (- 15 x^{2}) + 6 \ln (x)$

Этап 4.4

Изменим порядок членов.

$7 x^{3} - 5 x^{2} + 28 x^{3} \ln (x) - 15 x^{2} \ln (x) + 6 \ln (x) + 6$