Математический анализ Примеры

$f (x) = (4 x^{2} - x) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 4 x^{2} - x$ и $g (x) = x^{3} - 8 x^{2} + 12$ .

$(4 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 8 x^{2} + 12] + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 8 x^{2} + 12$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$(4 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$(4 x^{2} - x) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x]$

Этап 2.3

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x^{2}$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [12]) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x]$

Этап 2.5

Умножим $2$ на $- 8$ .

$(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x + \frac{d}{d x} [12]) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x]$

Этап 2.6

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12$ относительно $x$ равна $0$ .

$(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x + 0) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x]$

Этап 2.7

Добавим $3 x^{2} - 16 x$ и $0$ .

$(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x]$

Этап 2.8

По правилу суммы производная $4 x^{2} - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 2.9

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 2.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 2.11

Умножим $2$ на $4$ .

$(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) (8 x + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 2.12

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) (8 x - \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) (8 x - 1 \cdot 1)$

Этап 2.14

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) (8 x - 1)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $1$ из $(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) (8 x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $1$ из $(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x)$ .

$1 ((4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x)) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) (8 x - 1)$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $1$ из $(x^{3} - 8 x^{2} + 12) (8 x - 1)$ .

$1 ((4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x)) + 1 ((x^{3} - 8 x^{2} + 12) (8 x - 1))$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $1$ из $1 ((4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x)) + 1 ((x^{3} - 8 x^{2} + 12) (8 x - 1))$ .

$1 ((4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) (8 x - 1))$

Этап 3.2

Умножим $(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) (8 x - 1)$ на $1$ .

$(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) (8 x - 1)$

Этап 3.3

Изменим порядок членов.

$(3 x^{2} - 16 x) (4 x^{2} - x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Этап 3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Развернем $(3 x^{2} - 16 x) (4 x^{2} - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} (4 x^{2} - x) - 16 x (4 x^{2} - x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Этап 3.4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} (4 x^{2}) + 3 x^{2} (- x) - 16 x (4 x^{2} - x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Этап 3.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} (4 x^{2}) + 3 x^{2} (- x) - 16 x (4 x^{2}) - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Этап 3.4.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \cdot 4 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} (- x) - 16 x (4 x^{2}) - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Этап 3.4.2.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$3 \cdot 4 (x^{2} x^{2}) + 3 x^{2} (- x) - 16 x (4 x^{2}) - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Этап 3.4.2.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 \cdot 4 x^{2 + 2} + 3 x^{2} (- x) - 16 x (4 x^{2}) - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Этап 3.4.2.1.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$3 \cdot 4 x^{4} + 3 x^{2} (- x) - 16 x (4 x^{2}) - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Этап 3.4.2.1.3

Умножим $3$ на $4$ .

$12 x^{4} + 3 x^{2} (- x) - 16 x (4 x^{2}) - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Этап 3.4.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$12 x^{4} + 3 \cdot - 1 x^{2} x - 16 x (4 x^{2}) - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Этап 3.4.2.1.5

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.5.1

Перенесем $x$ .

$12 x^{4} + 3 \cdot - 1 (x \cdot x^{2}) - 16 x (4 x^{2}) - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Этап 3.4.2.1.5.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$12 x^{4} + 3 \cdot - 1 (x^{1} x^{2}) - 16 x (4 x^{2}) - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Этап 3.4.2.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 x^{4} + 3 \cdot - 1 x^{1 + 2} - 16 x (4 x^{2}) - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Этап 3.4.2.1.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$12 x^{4} + 3 \cdot - 1 x^{3} - 16 x (4 x^{2}) - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Этап 3.4.2.1.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$12 x^{4} - 3 x^{3} - 16 x (4 x^{2}) - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Этап 3.4.2.1.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$12 x^{4} - 3 x^{3} - 16 \cdot 4 x \cdot x^{2} - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Этап 3.4.2.1.8

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.8.1

Перенесем $x^{2}$ .

$12 x^{4} - 3 x^{3} - 16 \cdot 4 (x^{2} x) - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Этап 3.4.2.1.8.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.8.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$12 x^{4} - 3 x^{3} - 16 \cdot 4 (x^{2} x^{1}) - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Этап 3.4.2.1.8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 x^{4} - 3 x^{3} - 16 \cdot 4 x^{2 + 1} - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Этап 3.4.2.1.8.3

Добавим $2$ и $1$ .

$12 x^{4} - 3 x^{3} - 16 \cdot 4 x^{3} - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Этап 3.4.2.1.9

Умножим $- 16$ на $4$ .

$12 x^{4} - 3 x^{3} - 64 x^{3} - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Этап 3.4.2.1.10

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$12 x^{4} - 3 x^{3} - 64 x^{3} - 16 \cdot - 1 x \cdot x + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Этап 3.4.2.1.11

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.11.1

Перенесем $x$ .

$12 x^{4} - 3 x^{3} - 64 x^{3} - 16 \cdot - 1 (x \cdot x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Этап 3.4.2.1.11.2

Умножим $x$ на $x$ .

$12 x^{4} - 3 x^{3} - 64 x^{3} - 16 \cdot - 1 x^{2} + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Этап 3.4.2.1.12

Умножим $- 16$ на $- 1$ .

$12 x^{4} - 3 x^{3} - 64 x^{3} + 16 x^{2} + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Этап 3.4.2.2

Вычтем $64 x^{3}$ из $- 3 x^{3}$ .

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Этап 3.4.3

Развернем $(8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x \cdot x^{3} + 8 x (- 8 x^{2}) + 8 x \cdot 12 - 1 x^{3} - 1 (- 8 x^{2}) - 1 \cdot 12$

Этап 3.4.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1.1

Перенесем $x^{3}$ .

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 (x^{3} x) + 8 x (- 8 x^{2}) + 8 x \cdot 12 - 1 x^{3} - 1 (- 8 x^{2}) - 1 \cdot 12$

Этап 3.4.4.1.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 (x^{3} x^{1}) + 8 x (- 8 x^{2}) + 8 x \cdot 12 - 1 x^{3} - 1 (- 8 x^{2}) - 1 \cdot 12$

Этап 3.4.4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3 + 1} + 8 x (- 8 x^{2}) + 8 x \cdot 12 - 1 x^{3} - 1 (- 8 x^{2}) - 1 \cdot 12$

Этап 3.4.4.1.3

Добавим $3$ и $1$ .

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{4} + 8 x (- 8 x^{2}) + 8 x \cdot 12 - 1 x^{3} - 1 (- 8 x^{2}) - 1 \cdot 12$

Этап 3.4.4.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{4} + 8 \cdot - 8 x \cdot x^{2} + 8 x \cdot 12 - 1 x^{3} - 1 (- 8 x^{2}) - 1 \cdot 12$

Этап 3.4.4.3

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Перенесем $x^{2}$ .

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{4} + 8 \cdot - 8 (x^{2} x) + 8 x \cdot 12 - 1 x^{3} - 1 (- 8 x^{2}) - 1 \cdot 12$

Этап 3.4.4.3.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{4} + 8 \cdot - 8 (x^{2} x^{1}) + 8 x \cdot 12 - 1 x^{3} - 1 (- 8 x^{2}) - 1 \cdot 12$

Этап 3.4.4.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{4} + 8 \cdot - 8 x^{2 + 1} + 8 x \cdot 12 - 1 x^{3} - 1 (- 8 x^{2}) - 1 \cdot 12$

Этап 3.4.4.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{4} + 8 \cdot - 8 x^{3} + 8 x \cdot 12 - 1 x^{3} - 1 (- 8 x^{2}) - 1 \cdot 12$

Этап 3.4.4.4

Умножим $8$ на $- 8$ .

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{4} - 64 x^{3} + 8 x \cdot 12 - 1 x^{3} - 1 (- 8 x^{2}) - 1 \cdot 12$

Этап 3.4.4.5

Умножим $12$ на $8$ .

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{4} - 64 x^{3} + 96 x - 1 x^{3} - 1 (- 8 x^{2}) - 1 \cdot 12$

Этап 3.4.4.6

Перепишем $- 1 x^{3}$ в виде $- x^{3}$ .

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{4} - 64 x^{3} + 96 x - x^{3} - 1 (- 8 x^{2}) - 1 \cdot 12$

Этап 3.4.4.7

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{4} - 64 x^{3} + 96 x - x^{3} + 8 x^{2} - 1 \cdot 12$

Этап 3.4.4.8

Умножим $- 1$ на $12$ .

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{4} - 64 x^{3} + 96 x - x^{3} + 8 x^{2} - 12$

Этап 3.4.5

Вычтем $x^{3}$ из $- 64 x^{3}$ .

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{4} - 65 x^{3} + 96 x + 8 x^{2} - 12$

Этап 3.5

Добавим $12 x^{4}$ и $8 x^{4}$ .

$20 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} - 65 x^{3} + 96 x + 8 x^{2} - 12$

Этап 3.6

Вычтем $65 x^{3}$ из $- 67 x^{3}$ .

$20 x^{4} - 132 x^{3} + 16 x^{2} + 96 x + 8 x^{2} - 12$

Этап 3.7

Добавим $16 x^{2}$ и $8 x^{2}$ .

$20 x^{4} - 132 x^{3} + 24 x^{2} + 96 x - 12$